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第1页共99页第一讲相交线综合一、知识精讲1.相交线——邻补角、对顶角2.垂线:垂线是当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.两条直线的交点叫垂足.二、典例解析【例1】如图,直线AB、CD相交于点O,若∠AOD比∠AOC大50°,则∠BOD=______;若∠AOD=2∠AOC,则∠BOC=_________;若∠AOD=∠AOC,则∠BOD=_________.【例2】如图,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,求∠EOF的度数.【例3】如图,直线AB、CD相交于点O,OE为射线,∠AOC=60°,∠BOE-∠DOE=10°,求∠DOE、∠AOE的度数.【例4】如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥OF,OC平分∠AOE,且∠BOF=2∠BOE,求∠DOE的度数.第2页共99页【例5】如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,且∠1∶∠2=1∶4,求∠AOF的度数.【例6】如图,∠AOD=90°,OD为∠BOC的平分线,OE为BO的延长线,若∠AOB=50°,求∠COE的度数.【例7】如图,OA⊥OB,∠AOD=12∠COD,又∠BOC=∠AOD+90°,求∠COD的度数.【例8】如图,∠MON=150°,将一个三角板OAB(∠AOB=30°),如图1放置,30°角顶点放在O点,AO与MO重合,将三角板OAB绕点O顺时针以每秒2°的速度在∠MON内部旋转,如图2,OP平分∠MOB,OQ平分∠NOA.(1)求射线OP旋转的速度.ABNOM第3页共99页(2)当三角板OAB旋转多少秒时,MO⊥QO?PBAQNOM(3)在旋转过程中,∠POQ的大小是否发生变化?若不变求其值;若改变请求其值变化的范围.三、课堂检测1.如图,AB⊥CD,垂足为O,直线EF经过点O,OM平分∠BOF,∠COF=34°,求∠DOE、∠FOM、∠EOM的度数.2.如图,AB⊥CD,垂足为O,直线EF经过点O,OG⊥EF,∠COG=2∠AOE,求∠BOE、∠AOF、∠AOE的度数.第4页共99页3.如图,∠1>∠2,试判断∠2与12(∠1-∠2)之间有何数量关系?并说明理由.4.一副三角板OAB,OCD,(∠ABO=30°,∠ODC=45°)若OM,ON分别平分∠AOD,∠BOC.(10分)(1)若将三角板OCD绕着点O顺时针旋转如图1所示,问:∠MON的读数是否发生变化?为什么?NMCDABO(2)若将三角板OCD绕着点O顺时针旋转如图2所示,问:∠MON的读数是否发生变化?为什么?OBADCNM四、方法总结第5页共99页第二讲相交线与平行线(一)一、知识精讲在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(Parallellines).角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识,当两条直线相交或分别与第三条直线相交,就产生对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角,进一步丰富了角的知识,它们在角的计算与证明中有广泛的应用.1.由角定线已知角的关系→(判定)两直线平行→(性质)确定其他两角的关系2.由线定线已知两直线平行→(性质)角的关系→(判定)确定其他两直线平行二、典例解析【例1】如图所示,直线AB、CD、EF相交于O点,∠AOF=3∠FOB,∠AOC=90°,求∠EOC.【练1】如图所示AO⊥BO,CO⊥DO,∠AOD=4∠BOC,求∠AOD.【例2】已知(如图)①∵∠DCE=_____________∴AB∥EC()②∵∠DCE=_____________∴AE∥BC()③∵∠BAC=_____________∴AB∥EC()④∵∠B+_____________=18°∴AE∥BC()⑤∵AB∥EC∴∠B=_____________()⑥∵AE∥BC∴∠E=_____________()第6页共99页【例3】如图AB⊥BF,CD∥EF,且∠GBF+∠G=90°.求证:AB∥CD.【例4】如图,已知∠BDF+∠EFG=18°,∠BEF=∠B,试判断∠AED与∠C的大小关系,并对结论进行证明.【例5】如图在ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线,求证:DF是∠EDB的平分线.三、课堂检测1.相交线:(1)如图1,直线AB与CD交于O点,则∠AOC与____互为邻补角,图中共有_____对对顶角.性质:对顶角______________,邻补角________________.(图1)(2)如图2,AB与CD相交所成四个角中有一个角是直角时,就说AB与CD互相_____,记作AB_____CD,交点叫________.性质:过一点有且只有一条直到与已知直线垂直,垂线段最短.第7页共99页2.平行线:___________________________________叫平行线.如图3,AB平行于CD记作_____.平行公理:过_____有且只有一条直线与已知直线平行.推理:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相_____.如图4,也就是如果a∥b,c∥b,则_____.3.直线平行的判定:(1)如图5,同位角有____对,内错角有____对,同旁内角有____对.(2)两条线平行的条件.____________,两直线平行,图6中若____________,则l1∥l2____________,两直线平行,图6中若______________,则l1∥l2____________,两直线平行,图6中若____________,则l1∥l24.平行线性质:两直线平行,_______________图6中若l1∥l2,,则_______________;两直线平行,_______________图6中若l1∥l2,,则_______________;两直线平行,_______________图6中若l1∥l2,,则_______________.5.如图,当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD增大_____________.6.如图在标号的11个角中同位角有____对,内错角有____对,同旁内角有____对.7.如图(1),是大众汽车的图标,图(2)反映其中直线间的关系,并且AC∥BD,AE∥BF.(1)∠A与∠B的关系如何?你是怎样思考的?(2)想想看,还有其他的方法吗?写出你的思考.ab图4c第8页共99页8.如图,DE∥BC,CD平分∠ACB,∠B=70°,∠ACB=50°,求∠EDC和∠BDC的度数.9.如图AB∥CD,EF∥BP,MN∥DP,求∠1+∠E+∠F+∠3+∠M+∠N+∠2=?10.如图,AB与CD相交于O点,OE平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD、∠AOE的度数.11.如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB.(1)若∠AOC=∠AON,∠COM=38°,求∠NOD的度数.(2)若∠AOC=∠BOC,求∠MOD的度数.第9页共99页12.填空:如图.∵∠AEM=∠DGN(已知)且∠CGE=∠DGN()∴∠AEM=∠CGE()又∵∠1=∠2(已知)∴∠FEM=∠HGM()∴EF∥GH()12.如图,∠B=∠C,∠DAC=∠B+∠C,AE平分∠DAC.求证AE∥BC.13.已知:如图,∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2.求证∠E=∠F.14.如图,∠ADF=∠BCE,∠DCE=∠BEC,∠ADC=∠B.求证CE∥DF.四、方法总结第10页共99页第三讲相交线与平行线(二)一、基础与中档题训练1.如图13-1,∠1=82°,∠2=98°,∠3=8°,∠4=.2.如图13-2,ab,∠1=3x+7°,∠2=5x+22°,则∠3=.3.如图13-3,AB∥CD,BC∥DE,则∠B+∠D=.4.如图13-4,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BED=75°,那么∠BFD等于().A.37.5°B.35°C.38.5°D.36°5.如图13-5,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=度.6.如图13-6,已知DE∥AC,EF∥CD,∠1=∠2,并且∠3=25°,则∠4=.7.如图13-7,已知L1∥L2,则321的度数为.8.如图13-8,AB∥CD,∠A=74°,∠C=28°,则∠E=.9.如图13-9,∠1=85°,∠2=85°,∠3=48°,∠4=132°,写出该图中的平行线,并说明理由.10.如图13-10,已知∠ABC=∠ADC,BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC,且∠1=∠2,试推导出DF∥EB.11.如果P、Q是直线AB上两点,用三角尺在AB同侧作出∠APM=3°,∠AQN=3°,又在上述同侧作CP⊥AB,DQ⊥AB,那么(1)MP与NQ、CP与DQ的位置关系怎样?(2)∠MPC与∠NQD的大小.第11页共99页二、综合题训练1.如下图13-11,点B、E、C、F在一条直线上,并且AB∥DE,∠A=∠D,AC⊥BF,求证:DF⊥BF.2.如图13-12,D、G是ΔABC中AB边上的任意两点,DE∥BC,GH∥DC,则图中相等的角共有()(A)4对(B)5对(C)6对(D)7对3.如图13-13,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交,图中的同旁内角共有()(A)4对(B)8对(C)12对(D)16对4.如图13-14,已知ABCD.(1)在图13-14中,求证:∠B+∠D=∠BED;(2)将图①改成图②,∠B、∠D、∠E间的关系如何?(3)将图①改成图③,∠B、∠D、∠E、∠F间的关系如何?(4)将图①改成图④,则∠B+∠E1+∠E2+…+∠E`+∠D等于多少度?6.如图13-15,AB∥CD,若∠ABE=13°,∠CDE=152°,求∠BED的度数.第12页共99页7.如图13-16,已知AB∥CD,∠1=100°,∠2=12°,求∠a的度数.8.如图13-17,AB∥CD,∠ABC与∠BCD的平分线相交于点E,求∠BEC的度数.9.如图13-18,AB∥CD,若∠ABE=12°,∠DCE=35°,则∠BEC=度.10.如图13-19,∠ABC=36.4°,DE∥BC,DF⊥AB于点F,则∠D=.11.如下图13-20,已知AB∥EF,∠BAC=p,∠ACD=x,∠CDE=y,∠DEF=q,用p、q、y来表示x得.12.如下图13-21,已知AB∥CD,∠BAE=∠C,求证:AE∥BC.13.如图13-22,AB∥CD,CE平分∠ACD,∠A=11°,则∠ECD的度数等于()A.11°°B.7°C.55°D.35°14.在下列四个命题中,真命题是()A.同位角相等,则它们角平分线互相垂直B.内错角相等,则它们角平分线互相垂直C.同旁内角互补,则它们角平分线互相垂直D.同旁内角相等,则它们角平分线互相垂直15.如图13-23,已知AB∥CD,∠EAF=14EAB,∠ECF=14∠ECD,那么∠AEC与∠AFC的大小关系可用等式表示为.16.如图13-24,AC垂直于CB,垂足为C,DECB,那么图中相等的角有()A.1对B.2对C.3对D.4对第13页共99页MNCDAB12FHEGDEF3124ABCDABECABCED21三、课堂检测1.已知:如图,AB//CD,MN截AB、CD于E、F,且EG//FH,求证:122.已知:AF、BD、CE都为直线,B在直线AC上,E在直线DF上,且12,CD,求证:AF.3.已知:如图,AB//CE,AB6045,,求:ACD的度数.4.已知:如图,ACBCDEBC,,求证:BDEA.第14页共99页AB1EF2CPDFE4AG1B5362CDEABCD2ABECFDHG15.已知:如图,BAPAPD18012,.求证:EF.6.已知:如图,123456,,.求证:EDFB/
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