概率论公式总结-都琳

概率论与数理统计公式 1  第一章随机事件及其概率随机事件A，样本空间Ω，概率空间F，AA⊂Ω∈，F一、随机事件间的关系和运算1、包含：A⊂B，表示A发生必有事件B发生2、相等：若A⊂B且B⊃A，即A=B，则称事件A与事件B相等。3、互不相容（或互斥）：A∩B=Ф，表示A与B不可能同时发生。对立一定互斥。4、对立（或互逆）:A=Ω-A。表示A不发生的事件。互斥未必对立。5、和事件/并：A∪B，或者A+B（A∩B=Ø），表示A、B中至少有一个发生的事件。6、差事件：ABAABAB−=−=,表示A发生而B不发生的事件。7、积事件/交：A∩B或者AB，表示A、B同时发生的事件。二、运算定律1、交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。2、结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C；A∩（B∩C）=（A∩B∩C3、分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）；()()()ABCABAC=∩∪∩∪∩。4、德摩根律（对偶率）：BA∪=A∩B；BA∩=A∪B；。z常用结论：AA=Φ；A∪A=Ω；()()ABABABABBAAB=+−=−+−+∪第二章随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布1、分布函数:(){}FxPXx=≤分布函数性质:(1)0()1,;FxxR≤≤∈(2)()Fx是单调不减的；(3)()lim()0;xFFx→−∞−∞==()lim()1;xFFx→+∞+∞==概率论与数理统计公式 2  (4)()Fx为右连续，即000lim()(),.xxFxFxxR+→=∈分布函数重要公式:(1){}();PXbFb≤=(2){}()();PaXbFbFa≤=−(3){}1();PXaFa=−(4){}();PXbFb−=(5)()()(),.PXbFbFbbR−==−∈2、离散型随机变量:(){}{}()kkxxFxPXxPXxxR≤=≤==∈∑¾典型离散型随机变量的分布：(1)退化分布(单点分布)：()1PXC==(2)两点分布B(1,p)：1{}(1)(0,1)kkPXkppk−==−=(3)离散型均匀分布：1{}(1,2,,)kPXxknn===(4)二项分布(,)Bnp：{}(1)kknknPXkCpp−==−(5)泊松分布()Pλ：{}e(0,1,)!kPXkkkλλ−===(6)几何分布：1{}(1)(1,2,)kPXkppk−==−=(7)超几何分布：{}(0,1,2,,min{,})knkMNMnNCCPXkkMnC−−===3、连续型随机变量：()()dxFxptt−∞=∫¾密度函数的性质：(1)()0,;pxxR≥∈(2)()d1;pxx+∞−∞=∫(3){}()()()d;baPaXbFbFapxx≤=−=∫(4){}0.PXc==¾典型连续性随机变量的分布：(1)均匀分布X~U[a,b]1,,()0,,axbpxba⎧≤≤⎪=−⎨⎪⎩其它;0,,(),,1,.xaxaFxaxbbaxb⎧⎪−⎪=≤⎨−⎪≥⎪⎩1{}{}0;PXaPXb==性质：2{}.dcPcXdba−≤=−(2)正态分布2~(,)XNμσ概率论与数理统计公式 3  22()21(),.2πxμσpxexσ−−=−∞∞;22()21()d2tμxσFxetσπ−−−∞=∫(3)标准正态分布~(0,1)XN221()2πxxeφ−=;221()d.2txxetπ−−∞Φ=∫(1)()1(),xxΦ−=−Φ性质：(0)0.5Φ=；22(2)2πxedx+∞−−∞=∫(4)指数分布~()XExpλ,0,()0,0.xexpxxλλ−⎧=⎨≤⎩;1,0,()0,0.xexFxxλ−⎧−=⎨≤⎩二、二维随机变量及分布：1、联合分布函数：(,)Fxy{,}PXxYy=≤≤2、二维离散型随机变量的分布：{,},ijijPXxYyp===(,),ijijxxyyFxyp≤≤=∑∑3、二维连续型随机变量的分布：(,)(,)ddxyFxypuvuv−∞−∞=∫∫¾联合密度函数性质：(1)(,)0;pxy≥(2)(,)dd(,)1;pxyxyF+∞+∞−∞−∞=+∞+∞=∫∫2(,)(3)(,)(,),(,);Fxypxyxypxyxy∂=∂∂若在连续则有(4){(,)}(,)dd.GPXYGpxyxy∈=∫∫¾典型二维随机变量的分布：(1)均匀分布：1,(,),(,)0,.xyDpxyS⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它(2)二维正态分布221212(,)~(,,,,)XYNμμσσρ：2211222221212()2()()()12(1)2121(,)2π1xμρxμyμyμσσρσσpxyeσσρ⎡⎤−−−−−−+⎢⎥−⎢⎥⎣⎦=−(,),xy−∞∞−∞∞4、边缘分布：()(,){,}{}XFxFxPXxYPXx=+∞=≤+∞=≤；()(,){,}{}YFyFyPXYyPYy=+∞=+∞≤=≤概率论与数理统计公式 4  (1)离散型随机变量：边缘分布函数1()(,),iXijxxjFxFxp∞≤==+∞=∑∑1()(,).jYijyyiFyFyp∞≤==+∞=∑∑边缘分布律1{},1,2,,iijijppPXxi∞•=====∑1{},1,2,,jijjippPYyj∞•=====∑(2)连续型随机变量：边缘分布函数{}()(,)(,)ddxXFxFxpxyyx+∞−∞−∞=+∞=∫∫边缘密度()(,)d;Xpxpxyy+∞−∞=∫()(,)dYpypxyx+∞−∞=∫(3)结论：二元正态分布的边缘分布是一元正态分布．221212(,)~(,,,,)XYNμμσσρ即若，则221122~(,),~(,).XNYNμσμσ5、独立性：(,)()().XYXYFxyFxFy⇔=和相互独立(1):{,}{}{}ijijXYPXxYyPXxPYy⇔=====、离散型与相互独立(2):(,)()()XYXYpxypxpy⇔=、连续型与相互独立常用结论：(1)()().XYfXgy若和相互独立，则与也相互独立1212(2)(,),,XYNuuσσρ∼（,,），0XYρ⇔=与相互独立6、条件分布（1）离散型：条件分布律{;}{|};{}ijijijjjPXxYypPXxYyPYyp⋅======={,}{|}{}ijijjiiiPXxYypPYyXxPXxp⋅=======（2）连续型：条件概率密度(,)();()XYYpxypxypy=|(x,)(|)()YXXpypyxpx=条件分布函数||(|)(|)d(x,)/()dxxXYXYYFxypxyxpypyx−∞−∞==∫∫||(|)(|)dyYXYXFyxpyxy−∞=∫(x,)/()dyXpypxy−∞=∫（3）常用结论：二元正态分布的条件分布仍为正态分布。概率论与数理统计公式 5  三、随机变量的函数及其分布1、一维随机变量函数的分布()YfX=（1）离散型：{}{()}kkPYyPfXy===()kiiyfxp==∑（2）连续型：方法一：分布函数法：()(){}{()}()d()().YXfxyYFyPYyPfXypxxxFyY≤=≤=≤=−∞∞∫再对求导得到的密度函数方法二：公式法：11[()][()],,()0,.XYpfyfyypyαβ−−⎧′⎪=⎨⎪⎩注意条件其它常用结论：(1)随()~[0,1]XFxU机变量的分布函数(2)若22~(,)~~(,()).XNμσYaXbNaμbaσ=++，则2、二维随机变量函数的分布(,)ZfXY=（1）和的分布ZXY=+()(,)dZpzpzyyy+∞−∞=−∫(,)dpxzxx+∞−∞=−∫；XY当与独立，()()()dZXYpzpzypyy+∞−∞=−∫()()dXYpxpzxx+∞−∞=−∫（2）差的分布ZXY=−()(,)dZpzpzyyy+∞−∞=+∫(,)dpxxzx+∞−∞=−∫；XY当与独立，()()()dZXYpzpzypyy+∞−∞=+∫()()dXYpxpxzx+∞−∞=−∫（3）商的分布XZY=()||(,)dZpzypyzyy+∞−∞=∫；XY当与独立，()||()()dZXYpzypyzpyy+∞−∞=∫（4）极值分布max{,},MXY=min{,}.NXY=的分布XY当，相互独立,()()()MXYFzFzFz=；()1[1()][1()]NXYFzFzFz=−−−XY当，相互独立且同分布,2()()MFzFz=；2()1[1()]NFzFz=−−概率论与数理统计公式 6  3、常用结论(1)若1122121212~(),~(),~()XPXPXXXXPλλλλ⇒++且相互独立2211222,~(,),~(,)XYXNYNμσμσ（）相互独立且，221212~(,)ZXYNμμσσ=+++则(3)若,~(0,1),~(0,1)/XYXNYNZXY=相互独立且，则服从柯西分布：211()1Zpzzπ=+。第三章随机变量的数字特征一、数学期望：1、定义：离散型：()1;kkkEXxp∞==∑连续型：()()d.EXxpxx+∞−∞=∫2、随机变量函数的数学期望(1)一元函数的数学期望()()()()()1,d,kkkfxpXEYEfXfxpxxX∞=+∞−∞⎧⎪==⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑∫为离散型为连续型(2)二元函数的数学期望¾离散型：()()11,(,)ijijijEZEfXYfxyp∞∞====⎡⎤⎣⎦∑∑¾连续型：()(),EZEfXY=⎡⎤⎣⎦(,)(,)ddfxypxyxy+∞+∞−∞−∞=∫∫3、数学期望的性质：()()()()()()()0001101;2;3;4,.nniiiiiiECCECXCXEaXaEXXYEXYEXEY==⎧=⎪=⎪⎪⎛⎞⎨=⎜⎟⎪⎝⎠⎪⎪⇒=⎩∑∑独立概率论与数理统计公式 7  二、方差： 1、定义：()()()()222.DXEXEXEXEX=−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦离散型：21()[()],kkkDXxEXp∞==−∑连续型：()()2()d,DXxEXpxx+∞−∞=−⎡⎤⎣⎦∫2、性质：(1)设C为常数，则有()0.DC=(2)()()2.DkXkDX=(3)设随机变量X,Y相互独立,且D(X),D(Y)存在,则D(X±Y)=D(X)+D(Y)(4)D(X)=0的充要条件是{}1,.PXCC==为常数(5)()()2,DXEXCC≤−为常数(6)切比谢夫不等式22{}σPXμεε−≥≤22{}1σPXμεε⇔−≥−,其中E(X)=μ,()2DXσ=三、协方差：1、定义：()()(){}cov,.XYEXEXYEY=−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、性质：(1)()(),,CovXYCovYX=(2)(),()CovXYEXYEXEY=−⋅(3)()(),,CovaXbYabCovXY=⋅(4)()()()1212,,,CovXXYCovXYCovXY+=+(5)若X与Y独立,则(),0.CovXY=(6)()()()()2,DXYDXDYCovXY±=+±()()112cov,.nniiijiiijDXDXXX==⎛⎞⇒=+⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑(7)(),.CovXXDX=概率论与数理统计公式 8  四、相关系数：1、定义：()()()()cov(,)cov,()()XYXEXYEYXYDXDYDXDYρ⎛⎞−−⎜⎟==⎜⎟⎝⎠2、性质：(1)1.XYρ≤(2){}11.XYPYaXbρ=⇔=+=(3)若X与Y相互独立，则X与Y不相关，反之不真.(4),0cov(,)0()()()()()()XYXYρXYEXYEXEYDXYDXDY⇔=⇔=⇔=⇔+=+不相关z常用结论：(1)0−1分布（两点分布）：X~B(1,p)，分布律1{}(1)kkPXkpp−==−，k=0,1，则E(X)=p,()(1)Dxpp=−(2)二项分布：X~B(n,p)，分布律{}(1)kknknPXkCpp−==−，k=0,1,2,…,n，则E(X)=np,()(1);Dxnpp=−(3)泊松分布：()~XPλ，分布律{}e!kPXkkλλ−==，k=0,1,2,…，则E(X)=D(X)