高级宏观试题

高级宏观经济学期末考试符号说明：𝒄(𝒕)̂表示单位有效人均消费，𝒌(𝒕)̂表示单位有效人均资本存量，𝒚(𝒕)̂表示单位有效人均产出，𝐜(𝒕)表示人均消费，𝐤(𝒕)表示人均资本存量，𝐲(𝒕)表示人均产出。一、索洛模型。1、假设生产函数是C-D函数：𝑌=𝐹(𝐾,𝐴𝐿)=𝐾𝑎(𝐴𝐿)1−𝑎（1）把稳态时𝑘̂∗、𝑦̂∗与𝑐̂∗表示为模型参数𝑠、𝑛、𝛿、𝑔与𝑎的函数。（2）求𝑘(𝑡)̂的黄金律大小𝑘̂∗𝐺𝑜𝑙𝑑。（3）用定性图示法分析技术进步率g上升对稳态时𝑘̂∗的影响。2、简要说明该模型的结论与不足之处。二、考虑中央计划者决策的拉姆齐模型，中央计划者的目标函数为max：U=B∫𝑒−𝛽𝑡𝑐(𝑡)̂1−𝜃1−𝜃𝑑𝑡∞𝑡=0，其中𝛽=𝜌−𝑛−(1−𝜃)𝑔0。生产函数𝑦𝑡̂=𝑓(𝑘𝑡̂)满足𝑓′(∙)0，𝑓′′(∙)0，不考虑折旧水平。1、写出𝑘(𝑡)̂的动态方程表达式，并使用最优控制的方法（构造汉密尔顿函数）求解𝑐(𝑡)̂的动态方程表达式。2、证明：𝑘̂∗𝑘̂∗𝐺𝑜𝑙𝑑。3、运用𝑘(𝑡)̂及𝑐(𝑡)̂的相位图，定性分析收敛情况与鞍点路径，并考虑𝜌下降的定性影响。（或定量分析）三、戴蒙德模型。不考虑折旧水平，假设模型中的效用函数为对数函数𝑈𝑡=𝑙𝑛𝐶1，𝑡+11+𝜌𝑙𝑛𝐶2，𝑡+1，其中𝐶1，𝑡表示年轻人在𝑡时期消费，𝐶2，𝑡+1表示年轻人到老年时消费，生产函数采用C-D函数𝑦𝑡̂=𝑓(𝑘𝑡̂)=𝑘𝑡̂𝑎，人口增长率为𝑛，技术进步率为𝑔，即𝐿𝑡+1=(1+𝑛)𝐿𝑡，𝐴𝑡+1=(1+𝑛)𝐴𝑡。1、写出消费者面临的预算约束，推导𝐶1，𝑡∗表达式，并证明此时储蓄率𝑠与资本收益率𝑟无关。2、推导𝑘̂𝑡+1关于𝑘̂𝑡的运动方程表达式，求解均衡时𝑘̂∗与𝑦̂∗，并使用定性图示法（或定量方法）分析均衡的收敛性。3、使用定性图示法分析人口增长率𝑛的变化会如何影响均衡值大小及收敛性。四、考虑引入知识生产部门的内生增长模型，即产品部门生产产品，研发部门生产知识。用于产品部门和研发部门的劳动份额分别为𝑎𝐿和1-𝑎𝐿，用于产品部门和研发部门的资本份额分别为𝑎𝐾和1-𝑎𝐾。产品生产函数为𝑌(𝑡)=[(1−𝑎𝐾)𝐾(𝑡)]𝑎[(1−𝑎𝐿)𝐴(𝑡)𝐿(𝑡)]1−𝑎，其中0𝑎1，知识生产函数为𝐴(𝑡)̇=𝐵[𝑎𝐾𝐾(𝑡)]𝛽[𝑎𝐿𝐿(𝑡)]𝛾𝐴(𝑡)𝜃，其中𝐵0，𝛽≥0，𝛾≥0。假设折旧率为0，人口增长率外生为𝑛，𝑛0。1、求解𝑔𝐴(𝑡)的动态方程表达式。2、求解𝑔𝐾(𝑡)的动态方程表达式。3、考虑𝛽+𝜃1的情形。（1）求解均衡时的𝑔𝐾∗和𝑔𝐴∗。（2）使用相位图定性分析均衡的收敛性。（或定量分析）（3）简要说明该模型情形下的结论。五、请谈谈你对内生增长理论的理解。（对索洛模型的几种改进及相关的结论）六、考虑一个标准的𝐷𝑆𝐺𝐸模型，其中效用函数使用对数形式𝑈𝑡=𝛾𝑙𝑛𝐶𝑡+(1−𝛾)𝑙𝑛(1−𝐿𝑡)，生产函数为C-D函数𝑌𝑡=𝐹(𝐾𝑡，𝐿𝑡)=𝐴𝑡𝐾𝑡𝑎𝐿𝑡1−𝑎。1、写出消费者的最大化问题并求解一阶条件𝐹𝑂𝐶（欧拉方程）。2、写出生产者的最大化问题并求解一阶条件𝐹𝑂𝐶。3、写出刻画经济系统中均衡的方程组。4、简要说明后续的分析过程。5、简要说明一个可能对标准的𝐷𝑆𝐺𝐸模型的扩展。七、假设厂商使用劳动唯一的生产要素，即生产函数表示为𝑌=𝐹(𝐿)，不存在资本和投资。无限寿命家庭忽略人口增长家庭，标准化为1，代表性家庭的效用函数为𝑈=∑𝛽𝑡∞𝑡=0[𝑢(𝐶𝑡)+𝜔(𝑀𝑡𝑃𝑡)−𝑣(𝐿𝑡)]，其中𝑢(𝐶𝑡)=𝐶𝑡1−𝜃1−𝜃，𝜔(𝑀𝑡𝑃𝑡)=(𝑀𝑡𝑃𝑡⁄)1−𝛾1−𝛾，0𝛽1，θ0，𝛾0。假设经济中存在两种资产：货币以及获得利息的债券。令𝐴𝑡表示家庭在𝑡期初的财富。1、写出家庭财富动态方程表达式。2、求解家庭的一阶条件𝐹𝑂𝐶（欧拉方程）。3、运用一阶条件推导新凯恩斯𝐼𝑆、𝐿𝑀曲线表达式。八、分析价格刚性、工资刚性与商品市场和劳动市场的不完全竞争的四种不同情况。九、谈谈你对𝑅𝐵𝐶模型的认识以及新凯恩斯模型对假定的变化和主要结论。