大学物理课件：第十二章

1第十二章机械波一、基本要求1.掌握描述平面简谐波的各物理量。2.理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐振动方程建立平面简谐波的波动方程的方法及波动方程的物理意义，掌握波动曲线，会应用波形曲线分析和解决有关波动问题。3.了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。4.了解惠更斯原理，理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。5.理解驻波及其形成条件，了解驻波和行波的区别。6.了解机械波的多普勒效应及其产生的原因，并能计算波源和观察者在同一直线上运动时频率的变化。二、基本内容1.机械波的产生与传播（1）波动是振动状态的传播，机械波是机械振动状态的传播。（2）机械波产生的条件：必须有波源和弹性媒质。（3）横波与纵波：横波是媒质质元振动方向与波的传播方向相互垂直；纵波是媒质质元振动方向与波的传播方向相互平行。无论是纵波还是横波，它们的波动方程表达式都是一致的。（4）波在传播过程中具有相同振动相位的各点组成的曲面称波面，前进着的波有无数多个波面，某时刻t最前面的波面称为波前。根据波面的特点可以把波分成球面波和平面波，波的传播方向称为波线，波线也可以有无数多，但在同一波线上波的传播特征可以代表整个波动的特征（在均匀无穷大媒质中而言），在各向同性的媒质中波面恒垂直于波线。2.描述波的基本物理量（1）波长在同一波线上振动状态完全相同的两相邻质点间的距离。它是波的空间周期性的反映。2（2）周期T和频率v波前进一个波长的距离所需的时间，它反映了波的时间周期性。周期的倒数称为频率，波源的振动频率也就是波的频率。（3）波速u单位时间里振动状态（或波形）在媒质中传播的距离。波速和媒质中质点的振动速度是两个不同的概念。波速决定于媒质的特性。波速u和波长、频率v的关系为vu,或Tu。要注意在波速、波长、波的频率这三者的关系中，波速决定于媒质本身的性质，并不依赖于v和（它们之间只是一个约束关系，并不是波速的决定式）。而频率v是决定于引起波动的波源的振动频率，即波的频率和波源的振动频率总是一致的，而vu式子中的波长是受u和v制约，由u和v决定的，所以波长与媒质有关。3.平面简谐波的波动方程在无吸收的、均匀无限大各向同性的媒质中传播的波就可以是平面简谐波。在波传播的过程中，如各媒质质点的振动都是振幅不变的同一频率的谐振动，我们就称此波为简谐波，如果波传播过程中的波面是平面，就称为平面简谐波。设一平面简谐波沿x轴正方向以速度u传播，振幅为A，振动圆频率为，若坐标原点的振动方程为)cos(),0(0tAty则波动方程为：])(2cos[])(cos[),(00xvtAuxtAtxy])(2cos[0xTtA沿x轴反方向传播的波的波动方程为：])(cos[),(0uxtAtxy=])(2cos[0xvtA3])(2cos[0xTtA波动方程的物理意义（1）当x=常量时，波动方程表示波线上x处的质点的谐振动方程；（2）当t=常量时，波动方程表示t时刻波线上各质点离开各自平衡位置的分布情况，即t时刻的波形；（3）当x、t都变化时，波动方程表示一个沿X轴方向传播的波动，即代表一个行波。波动微分方程为22222xyuty4.波的能量波在传播过程中不断伴随着能量的传播，波是能量传播的一种形式。波的能量是波动中的动能和势能之和，其特点是同体积元V中的动能和势能相等。（1）媒质体积元V中的能量动能02222sin)(21)(21uxtAVmWk势能0222sin)(21uxtAVWp总能量0222sinuxtVA（2）能量密度：单位体积内波的能量。VW0222sinuxtA平均能量密度220211AdtTT（3）能流单位时间内通过某面积S的能量。平均能流PuS3）能流密度（波的强度）：通过与波的传播方向垂直的单位面积上的能流。4平均能流密度I2221uAu（5）声强级010log10IIILdB12010(IW．m-1)5.波的叠加与干涉（1）惠更斯原理：媒质中传播的各点，都可看作发射子波的新波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波阵面。（2）波的叠加原理：当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动位移是每列波单独传播到该点引起的振动位移的矢量和。（3）波的干涉波的干涉现象两列波叠加时,在空间形成振动加强与振动减弱交替分布的稳定图象，这种现象称为波的干涉。波的相干条件两列波频率相同、振动方向相同、相位差恒定。两相干波加强、减弱的条件：a干涉加强（合振幅最大）21201010202122(0,1,2,))(0,1,2,)rrkkrrkk（或b干涉减弱（合振幅最小）),2,1,0(2)12()),2,1,0()12(2122010121020kkrrkkrr时（或（4）驻波：是两列振幅相等的相干波，沿着同一直线，且沿相反方向传播而干涉的结果。驻波波动方程为txAy2cos)2cos2(波节振幅恒为零的各点。波腹振幅最大的各点。相邻两波节或相邻两波腹之间的距离为2。56．多普勒效应前面讨论的波源和观察者相对于媒质都是静止的。但有时会遇到波源或观察者相对于媒质运动的情况，这时会使观察者接受到的波源的频率发生变化，这种现象是由多普勒在1842年首先发现的，称为多普勒效应。三、习题选解12-1已知波源在原点（x0）处，它的波动方程为)(cosCxBtAy，式中CBA,,均为正值常量，试求（1）波的振幅、波速、频率、周期和波长；（2）写出传播方向上lx处一点的振动方程；（3）试求任意时刻，波在传播方向上相距为D的两点之间的相位差。解：（1）将平面简谐波方程cos()yABtCx与波动方程的标准形式)2cos(xtAy比较可知：波的振幅为A，圆频率B，波长满足C2，由此有频率22Bv周期BvT21波长C2波速CBvu（2）传播方向上距离波源l处的振动方程，可将lx代入原方程得到)cos(ClBtAy（3）波线上相距一个波长时，振动相位差为2，当波线上两点相距D时，相位差为CDDD2212-2一横波沿绳子传播时的波动表达式为)410cos(05.0xty6式中yx,以m计，t以s计。求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。解：由波动方程0.05cos(104)ytxm可知质点振动的速度110.0510sin(104)0.5sin(104)ytxmstxmstv质点的加速度为tav22220.05100cos(104)5cos(104)txmstxms因此质点振动的最大速度为1max0.5msv质点的最大加速度为22max5ams12-3设有一平面简谐波)3.001.0(2cos02.0xty式中yx,以m计，t以s计。（1）求振幅、波长、频率和波速；（2）求mx1.0处质点振动的初相位。解：（1）将平面简谐波方程mxty)3.001.0(2cos02.0与波动方程的标准形式比较2cos()cos2()xyAtxAvt可知波的振幅mA02.0，频率Hzv100，波长m3.0，速度130smvu（2）0t时，mx1.0处振动初相位为323.01.02)3.001.0(20xt12-4一平面简谐横波沿x轴传播的方程为70.05cos(104)ytx式中yx,以m计，t以s计。（1）求此波的振幅、波长、频率和波速。（2）求mx2.0处的质点在st1时的相位，这相位是0x处质点的哪一时刻的相位？该相位所代表的运动状态在st50.1时传播到哪一点？解：（1）将方程0.05cos(104)ytxm与波动方程的标准形式2cos()yAtx比较可知：波的振幅为mA05.0，角频率110s，波长满足42，由此可算出波的频率Hzv52波的波长m5.042波速15.2smvu（2）当stmx1,2.0时相位为10410140.29.2tx若这个相位是0x处，时刻1t的相位，则1109.2tst92.01若该相位代表的运动状态在st5.12时传播到2x处，则221049.2tx2.945.1102xmx45.148.5212-5若一平面简谐波在均匀介质中以速度u传播，已知a点的振动表达式为)2cos(tAy，试分别写出如图所示的坐标系中的波动方程及b点的振动表达式。解：(a)波向x轴正向传播，4ax，波动方程为8)](2)2cos[(axxtAy)2cos(xtA题12-5图在b点，2bx，b点振动方程为tAtAybcos)22cos(（b）波向x轴正向传播，4ax，与（1）条件相同。其波动方程为)2cos(xtAy这时4bx，b点振动方程为)23cos(tAyb(c)波向x轴正向传播，2ax，波动方程为)](2)2cos[(axxtAy)]2(2)2cos[(xtA)22cos(xtA因为4bx，b点振动方程为tAtAybcos]2)4(2cos[(d)波向x轴负向传播，4ax，波动方程为)2cos()]4(2)2cos[(xtAxtAy9因为4bx，b点振动方程为)2cos()]4(2cos[tAtAyb12-6已知平面简谐波的振动周期T＝0.5s，所激起的波的波长λ＝10m，振幅为0.1m，t=0时，波源处振动的位移正好为正上方的最大值，取波源处为原点并设波动沿x轴正向传播，求：（1）此波的波动方程。（2）沿波传播方向距离波源为12处质点的振动方程。（3）14tT和12tT时，距离波源14处质点的振动速度。解：平面余弦波波源的振动周期也就是波动的周期，所以，142sT（1）t=0时，00cosyAA1cos000又14sradmA1.0所以，波源的振动方程为ttAy4cos1.0cos0此波沿x轴正方向传播，所以波动方程可写为mxtxTty105.02cos1.02cos1.0（2）沿波传播方向距离波源为2处的振动方程为mtty4cos1.0215.02cos1.02（3）距离波源4处的质点的振动方程为mtty4sin1.024cos1.04104Tt时，质点振动速度0125.04cos41.04Tv2Tt时，质点振动速度126.125.04cos41.02smTv12-7一波源作简谐振动，周期为s01.0，经平衡位置向正方向运动时作为计时起点。设此振动以1400smu的速度沿直线向前传播，求：（1）这波动沿某一波线的方程；（2）距波源为m16处质点的振动方程和初相位；（3）距波源为m15和m16处的两质点的相位差是多少？解：（1）波源初始时刻的振动状态为经平衡位置向x轴正方