2021全国甲卷文科数学真题

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应答案的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合M={1,3,5,7,9}.N={x|2x7}，则M∩N=A.{7,9}B.{5,7,9)C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．已知(1-i)2z=3+2i，则z=A.-1-23iB.-1+23iC.-23+iD.-23-i4．下列函数中是增函数的为A.f(x)=-xB.f(x)=x32C.f(x)=x2D.f(x)=√𝑥35．点(3,0)到双曲线91622yx=1的一条渐近线的距离为A.59B.58C.56D.546.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足𝐿=5+lg𝑉。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.67.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G，该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是A.B.C.D.8.在∆ABC中，已知𝐵=120°,𝐴𝐶=√19,𝐴𝐵=2,则𝐵𝐶=A.1B.√2C.√5D.39.记𝑆𝑛为等比数列{𝑎𝑛}的前n项和。若𝑆2=4,𝑆4=6，则𝑆6=A.7B.8C.9D.1010.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为A.0.3B.0.5C.0.6D.0.811、若α∈(0,π2),tan2α=cosα2-sinα,则tanα=A.√1515B.√55C.√53D.√15312.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(-x).若f(-13)=13,则f(53)=A.-53B.-13C.13D.53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=________.14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.15.已知函数f(x)=2cos(ωx+ϕ)的部分图像如图所示，则f(π2)=____________.16.已知𝐹1,𝐹2为椭圆C:𝑥216+𝑦24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|𝐹1𝐹2|，则四边形P𝐹1Q𝐹2的面积为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)甲、乙两台机床生产同种产品产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握为机品质量与乙机床的产品质量有差异?附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2≥k)0.0500.0100.001𝑘3.8416.63510.82818.(12分)记𝑆𝑛,为数列{𝑎𝑛}的前n项和，已知𝑎𝑛,0，𝑎3=3𝑎1,，且数列{√𝑆𝑛}是等差数列，证明:{𝑎𝑛}是等差数列.19.(12分)已知直三棱柱ABC-𝐴1𝐵1𝐶1中,侧面,A𝐴1𝐵1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和C𝐶1的中点，BF⊥𝐴1𝐵1，(1)求三棱锥F-EBC的体积:(2)已知D为棱𝐴1𝐵1上的点，证明:BF⊥DE.20.（12分）设函数f(x)=𝑎2𝑥2+𝑎𝑥−3𝑙𝑛𝑥+1，其中a0。（1）讨论f(x)的单调性；（2）若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围。21.（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，已知点M(2,0)，且⊙M与l相切。（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A2A3均与⊙M相切，判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由。（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√2cos𝜃。（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足𝐴𝑃̅̅̅̅=√2𝐴𝑀̅̅̅̅̅，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点。23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=|2x+3|-|2x-1|。（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围。