2021全国乙卷理科数学及答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设2（z+𝑧̅）+3(z-𝑧̅)=4+6i，则z=().A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=()A.∅B.SC.TD.Z3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，𝑒|𝑥|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A.p∧qB.¬p∧qC.p∧¬qD.¬(pVq)4.设函数f(x)=1−𝑥1+𝑥，则下列函数中为奇函数的是（）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.𝜋2B.𝜋3C.𝜋4D.𝜋66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移𝜋3个单位长度，得到函数y=sin(x-𝜋4)的图像，则f(x)=（）A.sin(𝑥2−7𝜋12)B.sin(𝑥2+𝜋12)C.sin(2𝑥−7𝜋12)D.sin(2𝑥+𝜋12)8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.74B.2332C.932D.299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（）.A：表高×表距表目距的差+表高B：表高×表距表目距的差−表高C：表高×表距表目距的差+表距D：表高×表距表目距的差−表距10.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则（）.A：a＜bB：a＞bC：ab＜a2D：ab＞a211.设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）.A：[√22,1)B：[12,1)C：(0,√22]D：(0,12]12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1，则（）.A：a＜b＜cB：b＜c＜aC：b＜a＜cD：c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线C：x2m−y2=1（m0）的一条渐近线为√3x+my=0，则C的焦距为.14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则λ=。15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=.16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为𝑥̅和𝑦̅，样本方差分别记为s12和s22（1）求𝑥̅，𝑦̅，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果𝑦̅-𝑥̅≥2√𝑠12+𝑠222，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值。19.（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知2+1=2.（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）求{an}的通项公式.20.（12分）设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。（1）求a；（2）设函数g（x）=𝑥+（x）𝑥（x），证明：g（x）＜1.21.（12分）己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB的最大值.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1.（1）写出C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点F（4,1）作C的两条切线,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥—a,求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷（参考答案）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回1-5CCABD6-10CBBAD11-12CB13.414.3515.2√216.②⑤或③④17.解：（1）各项所求值如下所示𝑥̅=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0𝑦̅=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3𝑠12=110x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36,𝑠22=110x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.(2)由(1)中数据得𝑦̅-𝑥̅=0.3,2√𝑠12+𝑠2210≈0.34显然𝑦̅-𝑥̅＜2√𝑠12+𝑠2210，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18.解：（1）因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（𝑡2，1，0），P(0,0,1),所以𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=（t，1，-1），𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（−12，1，0），因为PB⊥AM，所以𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗•𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑡22+1=0，所以t=√2，所以BC=√2。（2）设平面APM的一个法向量为m=（x，y，z），由于𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=（-√2，0，1），则{𝐦•AP⃗⃗⃗⃗⃗=−√2x+z=0𝐦•AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−√22x+y=0令x=√2，得m=（√2，1，2）。设平面PMB的一个法向量为n=（xt，yt，zt），则{𝐧•CB⃗⃗⃗⃗⃗=√2𝑥𝑡=0𝐧•PB⃗⃗⃗⃗⃗=√2𝑥𝑡+𝑦𝑡−𝑧𝑡=0令𝑦𝑡=1，得n=(0,1,1).所以cos（m，n）=𝐦•𝐧|𝐦||𝐧|=3√7╳√2=3√1414,所以二面角A-PM-B的正弦值为√7014.19.（1）由已知2+1=2,则+1=Sn(n≥2)⇒2−1+1=2⇒2bn-1+2=2bn⇒bn-bn-1=12(n≥2),b1=32故｛bn｝是以32为首项，12为公差的等差数列。（2）由（1）知bn=32+（n-1）12=𝑛+22,则2+2𝑛+2=2⇒Sn=𝑛+2𝑛+1n=1时，a1=S1=32n≥2时，an=Sn-Sn-1=𝑛+2𝑛+1-𝑛+1𝑛=−1𝑛(𝑛+1)故an={32,𝑛=1−1𝑛(𝑛+1),𝑛≥220.（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1（2）由f(x)=ln(1-x),得x＜1当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0故即证x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则f′(t)=-1-1𝑡-[(-1)lnt+1−𝑡𝑡]=-1+1𝑡+lnt-1−𝑡𝑡=lnt所以f(t)在（0,1）上单调递减，在（1,+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0,得证。21.解：（1）焦点F(0,P2)到x2+(y+4)2=1的最短距离为P2+3=4，所以p=2.（2）抛物线y=14x2，设A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，则l𝑃𝐴=y=12x1(x−χ1)+y1=12𝑥1𝑋−14𝑥12=12𝑥1𝑥−𝑦1,l𝑃𝐵:𝑦=12𝑥2𝑥−𝑦2,且x02=−y02−8y0−15.l𝑃𝐴,l𝑃𝐵都过点P(x0,y0）,则{y0=12x1x0−y1,y0=12x2x0−y2,故l𝐴𝐵:𝑦0=12𝑥0𝑥−𝑦，即𝑦=12𝑥0𝑥−𝑦0.联立{y=12x0x−y0x2=4y，得x2−2x0x+4y0=0，=4x02−16y0.所以|AB|=√1+x024⋅√4x02−16y0=√4+x02⋅√x02−4y0，d𝑃→𝐴𝐵=|𝑥02−4𝑦0|√𝑥02+4，所以S△𝑃𝐴𝐵=12|𝐴𝐵|⋅d𝑃→𝐴𝐵=12|x02−4y0|⋅√x02−4y0=12(x42−4y0)32=12(−y02−12y0−15)32.而y0∈[−5,−3].故当y0=-5时，S△𝑃𝐴𝐵达到最大，最大值为20√5.22.(1)因为C的圆心为(2,1)，半径为1.故C的参数方程为{𝑥=2+𝑐𝑜𝑠θ𝑦=1+𝑠𝑖𝑛θ（θ为参数).(2)设切线y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故|2𝑘−1−4𝑘+1|√1+𝑘2=1即|2k|=√1+𝑘2,4𝑘2=1+𝑘2，解得k=±√33.故直线方程为y=√33(x-4)+1,y=−√33(x-4)+1故两条切线的极坐标方程