2020-2021学年数学北师大版选修2-3学案：2.5-离散型随机变量的均值与方差

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。§5离散型随机变量的均值与方差知识点一离散型随机变量的均值(数学期望)[填一填]设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)．X的均值为：a1P(X＝a1)＋a2P(X＝a2)＋…＋arP(X＝ar)＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，即随机变量X的取值ai乘上取值为ai的概率P(X＝ai)再求和．X的均值也称作X的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为EX，即EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr.均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．两点分布的均值为p，二项分布的均值为p(1－p)．[答一答]1．离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？提示：不一定，如，EX＝0.5，在试验中不能出现，均值刻画的是X取值的“中心位置”．知识点二离散型随机变量的方差[填一填]一般地，设X是一个离散型随机变量，我们用E(X－EX)2来衡量X与EX的平均偏离程度，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并称之为随机变量X的方差，记为DX.方差越小，则随机变量的取值就越集中在均值周围，反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散，两点分布的方差为p(1－p)，二项分布的方差为npq.不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。[答一答]2．随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差．1．对离散型随机变量的均值与方差的理解(1)EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的“平均水平”．(2)EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr直接给出了EX的求法，即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后再相加．(3)DX与EX一样也是一个实数，它表示随机变量X相对EX的偏离程度，DX越大表明偏离EX的程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近．2．均值与方差的性质(1)E(C)＝C(C为常数)．(2)E(aX＋b)＝aEX＋b.(3)D(C)＝0(C为常数)．(4)D(aX＋b)＝a2DX.3．几种特殊类型的随机变量的均值与方差(1)超几何分布：设X服从参数为N，M，n的超几何分布，即P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，l，l＝min{M，n})，则EX＝nMN，DX＝nMN－MN－nN2N－1(此公式只需了解，不要求记忆)．(2)二项分布：设X～B(n，p)，即P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．题型一离散型随机变量的均值不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。[例1]某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．(1)写出ξ的分布列；(2)求数学期望Eξ.[思路探究]两位专家给三个方案做评审，则结果为支持的个数X可能为0,1,2,3,4,5,6.本题可视为进行6次独立重复试验，获得支持即为试验成功，则获得支持的个数X服从n＝6，p＝12的二项分布．由题意知X＝0对应ξ＝0，X＝1对应ξ＝5，X＝2对应ξ＝10，X＝3对应ξ＝15，X＝4对应ξ＝20，X＝5对应ξ＝25，X＝6对应ξ＝30.[解](1)ξ的可能取值为0,5,10,15,20,25,30.P(ξ＝0)＝P(X＝0)＝C06(12)0(12)6－0＝164，P(ξ＝5)＝P(X＝1)＝C16(12)6＝332，P(ξ＝10)＝P(X＝2)＝C26(12)6＝1564，P(ξ＝15)＝P(X＝3)＝C36(12)6＝516，P(ξ＝20)＝P(X＝4)＝C46(12)6＝1564，P(ξ＝25)＝P(X＝5)＝C56(12)6＝332，P(ξ＝30)＝P(X＝6)＝C66(12)6＝164.该公司的资助总额ξ的分布列为ξ051015202530P16433215645161564332164不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。(2)Eξ＝0×164＋5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.规律方法求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列(有时可以略)；(4)由均值的定义求EX.有一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数ξ的数学期望．解：若该运动员投篮1次，则P(ξ＝1)＝0.6；若投篮2次，则说明他第1次没有投进，而第2次投进，P(ξ＝2)＝0.6×0.4＝0.24；若投篮3次，则说明他前2次没有投进，而第3次投进，P(ξ＝3)＝0.42×0.6；若投篮4次，则说明他前3次没有投进，而第4次投进，P(ξ＝4)＝0.43×0.6；若投篮5次，则说明他前4次没有投进，而第5次投进与否均可，所以概率为P(ξ＝5)＝0.44×1.所以ξ的分布列为ξ12345P0.60.240.0960.03840.0256所以，投篮次数的数学期望为Eξ＝1×0.6＋2×0.24＋3×0.096＋4×0.0384＋5×0.0256＝1.6496.题型二二项分布的均值与方差[例2]某队共3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设该队中每人答对的概率均为23，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示该队的总得分．求随机不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。变量ξ的均值和方差．[思路探究]我们将每人回答问题看成做了一次试验，则一共有3次试验，且它们彼此独立；在每次试验中，把“答对问题”看作“成功”，“答错问题”看作“失败”，则每次试验成功的概率都是23，分析可知总得分ξ服从参数为n＝3，p＝23的二项分布．[解]方法一：根据题设可知，ξ～B(3，23)，因此ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck3(23)k(1－23)3－k(k＝0,1,2,3)．即ξ＝k0123P(ξ＝k)1272949827所以均值Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2，方差Dξ＝(0－2)2×127＋(1－2)2×29＋(2－2)2×49＋(3－2)2×827＝23.方法二：因为ξ～B(3，23)，所以平均值Eξ＝np＝3×23＝2，方差Dξ＝np(1－p)＝3×23×13＝23.规律方法若离散型随机变量服从二项分布，则其均值和方差既可以利用定义求解，也可以代入二项分布的均值和方差的计算公式求解．本题说明EX＝np在直观上是明显的：在一次试验中，试验“成功”的次数平均为p；那么，在n次独立重复试验中，试验“成功”的次数平均为np.[例3]甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，求(1)X的概率分布；不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。(2)X和Y的数学期望．[思路探究]甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．[解](1)P(X＝0)＝C03123＝18，P(X＝1)＝C13123＝38，P(X＝2)＝C23123＝38，P(X＝3)＝C33123＝18.所以X的概率分布如下表：X0123P18383818(2)由题意X～B3，12，Y～B3，23，∴EX＝3×12＝1.5，EY＝3×23＝2.规律方法如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则EX＝np；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则EX＝nMN，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．解：(1)分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P(E)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以ξ～B(3,0.3)，故Eξ＝np＝3×0.3＝0.9.解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A，B，C，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，所以P(ξ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，P(ξ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441，P(ξ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，P(ξ＝3)＝0.33＝0.027.于是，Eξ＝1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.题型三超几何分布的均值和方差[例4]设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X的分布列、期望值及方差；(2)求Y的分布列、期望值及方差．[思路探究]本题考查离散型随机变量的期望与方差．X的取值应是0,1,2，第(2)问求Y分布列及期望，可充分利用X与Y的关系Y＋X＝3来解．同时注意本题的抽取是“不放回抽取”．[解](1)X的可能值为0,1,2.若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝C02C310C312＝611，同理，有P(X＝1)＝C12C210C312＝922，不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。P(X＝2)＝C22C110C312＝122.∴X的分布列为X012P611922122∴EX＝0×611＋1×922＋2×122＝12.DX＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.(2)Y的可能值为1,2,3，显然X＋Y＝3.P(Y＝1)＝P(X＝2)＝122，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝922，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝611.∴Y的分布列为Y123P122922611E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－12＝52.∵Y＝－X＋3，∴DY＝(－1)2DX＝1544.规律方法解答本题应注意两点：一是该抽取为不放回抽取，二是对X＋Y＝3的充分利用．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道．若甲从中随机抽取5道题目，其中判断题的数目为ξ，求ξ的分布列、均值和方差．不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。解：方法一：由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝C04C56C510＝142，P(ξ＝1)＝C14C46C510＝521，P(ξ＝2)＝C24C36C510＝1021，P(ξ＝3)＝C34C26C510＝521，P(ξ＝4)＝C44C16C510＝142.所以ξ的分布列为ξ01234P1425211021521142均值Eξ＝0×142＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.方差Dξ＝(0－2)2×142＋(1－2)2×521＋(2－2)2×1021＋(3－2)2×521＋(4－2)2×142＝23.方法二：从10道不同的题目中抽取5道，则表示判断题数目的随机变量ξ服从参数为N