怎样求二次函数的解析式专题

让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------1怎样求二次函数的解析式二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点，往往会综合其他函数和几何而作为压轴题，有一定的难度。这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点，因此学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的首要条件。一、三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用一般式y=ax2+bx+c.解题策略：通过各种途径搜索题目的各个信息找到三个点的坐标，然后用待定系数法球解析式，此类问题是中考中考得最频繁的一类。例1已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,由已知可得043abcabcc，解之得1,2,3.abc故所求二次函数解析式为y=x2+2x-3.例2（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．求该抛物线的解析式；解：由题意知：A（0，6），C（6，0），设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则：cbacbac63603906解得：6131cba∴该抛物线的解析式为6312xxyyxCBOA让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------2例3（2010山东省德州）已知二次函数cbxaxy2的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．求此函数的解析式及图象的对称轴；解：∵二次函数cbxaxy2的图象经过点C(0，-3)，∴c=-3．将点A(3，0)，B(2，-3)代入cbxaxy2得.32433390baba，解得：a=1，b=-2．∴322xxy．配方得：412）（xy，所以对称轴为x=1．例4（2010山东莱芜）在平面直角坐标系中，已知抛物线cbxaxy2交x轴于)0,6(),0,2(BA两点，交y轴于点)32,0(C.求此抛物线的解析式；解：∵抛物线cbxaxy2经过点)0,2(A，)0,6(B，)320(，C．∴320636024ccbacba，解得3643323abc.∴抛物线的解析式为：32334632xxy.例5．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．（1）求点C的坐标．（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．xyOABCPQMN让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------3解：（1）点C的坐标是（4，0）；（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：020164abccabc解得12322abc，∴抛物线的解析式是：y=12x2+32x+2．二、顶点型若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标，则可以用顶点式y=a(x-h)2+k.解题策略：想方设法找到顶点的坐标，然后用待定系数法球解析式，此法比较简单。例1已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且经过点（3，1），求其解析式.解：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,由条件得1=a(3-2)2+3.解得a=-2.所以，抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3,即：y=-2x2+8x-5.例2将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得到的抛物线的解析式.解：函数解析式可变为y=(x+1)2-4.因向左平移4个单位，向下平移3个单位，所求函数解析式为y=(x+1+4)2-4-3,即y=x2+10x+18.例3（2010山东滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是)3,0(，以点C为顶点的抛物线cbxaxy2恰好经过x轴上A、B两点．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少各单位？让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------4解：(1)由抛物线的对称性可知AM=BM．在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC，∴△AOD≌△BMC∴OA=MB=MA设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，222)2()3(mm，解得1m．∴DC=2，OA=1，OB=3．∴A、B、C三点的坐标分别为)0,1(、)0,2(、)3,2((2)设抛物线的解析式为3)2(2xay，带入A点的坐标)0,1(，得3a∴抛物线的解析式为3)2(32xy(3)设抛物线的解析式为kxay2)2(，代入D点的坐标)3,0(，得35k∴平移后的抛物线的解析式为35)2(32xy∴平移了34335个单位．例4（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．解：（1）点C的坐标(2,23)．让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------5设抛物线的函数关系式为2(4)yaxm，则160423amam，解得383,.63am∴所求抛物线的函数关系式为2383(4)63yx例5（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数2xy的图像如图所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.（2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？解：画图如图所示：依题意得：2)1(2xy=2122xx=122xx∴平移后图像的解析式为：122xx（2）当y=0时，122xx=02)1(2x21x212121xx，∴平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（21，0）和（21，0）由图可知，当x21或x21时，二次函数2)1(2xy的函数值大于0.例6（2010湖北孝感）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线1xy与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上。二次函数的解析式为y=；x=4xyEDCBAO让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------6解：).)2(41(14122xyxxy或例7（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0，3）.求此抛物线的解析式；解：设抛物线为2(4)1yax.∵抛物线经过点A（0，3），∴23(04)1a.∴14a.∴抛物线为2211(4)12344yxxx.例8改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A点的距离是多少？AxyBOCD让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------7ENMDCBAOyx分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例9（2010四川凉山）已知：抛物线2(0)yaxbxca，顶点(1,4)C，与x轴交于A、B两点，(1,0)A。求这条抛物线的解析式；例10（2010四川眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），抛物线223yxbxc经过B点，且顶点在直线52x上．求抛物线对应的函数关系式；让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------8解：由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32yxm∴2254()32m∴16m∴所求函数关系式为：22251210()432633yxxx三、交点型若直接或间接已知二次函数图像与x轴的两交点坐标，则可以用交点式y=a(x-x1)·(x-x2).解题策略：要注意题目所给的点的坐标特征，如果已知或可求出与x轴的交点坐标（纵坐标为0），就可以采用此法。例1已知二次函数图像与x轴交于（-1，0）、（3，0）两点，且经过点（1，-5），求其解析式.解：设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),由条件得-5=a(1+1)(1-3).解得a=54.故所求二次函数解析式为y=54(x+1)(x-3),则y=54x2—52x—154.例2如下图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC=20，BC=15，∠ABC=90°，求这个二次函数解析式.解：在Rt△ABC中，AB=22ACBC+222015=25，∵S△ABC=12AC·BC=12AB·OC，∴OC=AC·BCAB=20×1525=12.∵AC2=AO·AB，∴OA=AC2AB=20225=16，∴OB=9.从而得A、B、C三点坐标分别为（-16，0）、（9，0）、（0，12）.于是，利用交点型可求得函数解析式为：y=-112x2-712x+12.例3已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.让学习变的简单------------------------------------------------------------------------------9分析∵对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).由抛物线的交点式:y=a(x－x1)(x－x2)求出解析式.变式练习1将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.已知二次函数的顶点坐标是(3,2),