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§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§6.3维数基坐标一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标§6.3维数·基与坐标§6.3维数基坐标引入即线性空间的构造如何?怎样才能便于运算?问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来?这些元素之间的关系又如何呢?(基的问题)问题Ⅱ线性空间是抽象的,如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达?(坐标问题)§6.3维数基坐标一、线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间(1)1212,,,(1),,,,,rrVrkkkP和式1122rrkkk的一个线性组合.称为向量组12,,,r(2),若存在12,,,,rV12,,,rkkkP则称向量可经向量组线性表出;12,,,r1122rrkkk使§6.3维数基坐标若向量组中每一向量皆可经向量组12,,,s12,,,r线性表出,则称向量组12,,,s可经向量组线性表出;12,,,r若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组为等价的.(3)12,,,rV,若存在不全为零的数12,,,rkkkP,使得11220rrkkk则称向量组为线性相关的;12,,,r§6.3维数基坐标(4)如果向量组不是线性相关的,即12,,,r11220rrkkk只有在时才成立,120rkkk则称为线性无关的.12,,,r(1)单个向量线性相关0.单个向量线性无关0向量组线性相关12,,,r12,,,r中有一个向量可经其余向量线性表出.2、有关结论§6.3维数基坐标(2)若向量组线性无关,且可被12,,,r向量组线性表出,则12,,,s;rs若与为两线性无关的12,,,r12,,,s等价向量组,则.rs(3)若向量组线性无关,但向量组12,,,r12,,,,r线性相关,则可被向量组线性表出,且表法是唯一的.12,,,r§6.3维数基坐标因为,对任意的正整数n,都有n个线性无关的向量1、无限维线性空间若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量,则称V是无限维线性空间.例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1,x,x2,…,xn-1二、线性空间的维数、基与坐标§6.3维数基坐标2、有限维线性空间n维线性空间;常记作dimV=n.(1)n维线性空间:若在线性空间V中有n个线性无关的向量,但是任意n+1个向量都是线性相关的,则称V是一个注:零空间的维数定义为0.dimV=0V={0}§6.3维数基坐标在n维线性空间V中,n个线性无关的向量(2)基12,,,n,称为V的一组基;下的坐标,记为12(,,,).naaa(3)坐标设为线性空间V的一组基,12,,,n,V则数组,就称为在基12,,,n12,,,naaa112212,,,,nnnaaaaaaP若§6.3维数基坐标有时也形式地记作1212(,,,)nnaaa注意:向量的坐标12(,,,)naaa是被向量和基12,,,n唯一确定的.即向量在基下的坐标唯一的.12,,,n但是,在不同基下的坐标一般是不同的.§6.3维数基坐标3、线性空间的基与维数的确定定理:若线性空间V中的向量组满足12,,,nⅰ)线性无关;12,,,nⅱ)可经线性表出,,V12,,,n则V为n维线性空间,为V的一组基.12,,,n§6.3维数基坐标证明:∵线性无关,12,,,naaa∴V的维数至少为n.任取V中n+1个向量,121,,,,nn由ⅱ),向量组可用向量组121,,,,nn若是线性无关的,则n+1≤n,矛盾.121,,,,nn12,,,naaa线性表出.∴V中任意n+1个向量是线性相关的.121,,,,nn故,V是n维的,就是V的一组基.12,,,n§6.3维数基坐标例23维几何空间R3={(,,),,}xyzxyzR123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是R3的一组基;123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)也是R3的一组基.一般地,向量空间12{(,,,),1,2,,}nniPaaaaPin为n维的,12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n就是Pn的一组基.称为Pn的标准基.§6.3维数基坐标①n维线性空间V的基不是唯一的,V中任意n个②任意两组基向量是等价的.例3(1)证明:线性空间P[x]n是n维的,且注意:线性无关的向量都是V的一组基.(2)证明:1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-11,x,x2,…,xn-1为P[x]n的一组基.也为P[x]n的一组基.§6.3维数基坐标证:(1)首先,1,x,x2,…,xn-1是线性无关的.∴1,x,x2,…,xn-1为P[x]n的一组基,从而,P[x]n是n维的.011(,,,)naaa其次,1011()[]nnnfxaaxaxPx可经1,x,x2,…,xn-1线性表出.()fx注:在基1,x,x2,…,xn-1下的坐标就是此时,1011()nnfxaaxax§6.3维数基坐标(2)1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1是线性无关的.又对()[]nfxPx,按泰勒展开公式有(1)1()()()()()()(1)!nnfafxfafaxaxan即,f(x)可经1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1线性表出.∴1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1为P[x]n的一组基.在基1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1下的坐标是(1)()((),(),,)(1)!nfafafan注:此时,1011()nnfxaaxax§6.3维数基坐标若把C看成是实数域R上的线性空间呢?而实数域R上的线性空间C为2维的,数1,i就为例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性空间的维数与一组基;解:复数域C上的线性空间C是1维的,数1就是它的一组基;它的一组基.注:任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的,数1就是它的一组基.§6.3维数基坐标解:令1110,00E1201,00E2100,10E220001E则11122122,,,EEEE是线性无关的.事实上,由111221220aEbEcEdE,即0abcd有0.abcd又对2211122122aaAPaa,有1111121221212222AaEaEaEaE例5求数域P上的线性空间的维数和一组基.22P是的一组基,是4维的.∴11122122,,,EEEE22P22P§6.3维数基坐标矩阵在基下的11122122aaAaa11122122,,,EEEE坐标就是11122122(,,,).aaaa一般地,数域P上的全体矩阵构成的线性空间mn为维的,mnPmn注:0001000ijEj第列i第行1,2,,1,2,,imjn就是的一组基.mnP11(),mnmnijijijiiAaPAaE有矩阵单位§6.3维数基坐标1234,,,下的坐标,其中1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)解:设11223344xxxx,则有线性方程组12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx解之得,12345111,,,4444xxxx.∴ξ在基1234,,,下的坐标为5111(,,,)4444.例6在线性空间中求向量在基4P(1,2,1,1)§6.3维数基坐标练习1.已知全体正实数R+对于加法与数量乘法:,,,kababkaaabRkR构成实数域R上的线性空间,求R+的维数与一组基.2100()()[],00,00VfAfxRxA2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里132i§6.3维数基坐标1解:数1是R+的零元素.即x可由a线性表出.任取R+中的一个数a,且,则a是线性无关的.1alog,log,.xaxkaxRkRkaaax又有使故R+是一维的,任一正实数就是R+的一组基.(1)a(,11).xRxxx§6.3维数基坐标2解:2313,1,2i2133132nnknkkZnk22310010000,010,00001AAE233132nEnkAAnkkZAnk①§6.3维数基坐标下证线性无关.设2,,EAA21230,kEkAkA得齐次线性方程组12321232123000kkkkkkkkk其系数行列式22221111(1)(1)()01②§6.3维数基坐标∴方程组②只有零解:1230kkk故线性无关.2,,EAA又由①知,任意均可表成的线性组合,2,,EAA所以V为三维线性空间,就是V的一组基.2,,EAA
本文标题:线性空间-基和维数
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