19版高考数学模拟预测考试一(含答案)

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）考试时间：120分钟；试卷分值：150分第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．若集合，，则（）|11Axx|02BxxABIA．B．|11xx|12xxC．D．|02xx|01xx2．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为12iz2z（）A．B．C．D．3,45,43,23,43．若向量，，则（）1,1,2a2,1,3babA．B．C．3D．722104.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A．；B．；C．；D．152203152120315.若函数与的对称轴完全相同，则()2sin()(0)4fxx()2cos(2)4gxx函数在哪个区间上单调递增()2sin()(0)4fxxA．B．C．D．[0,]8[0,]4[,]8[,]46.若函数的最小值为，则实数的取值范围|2|2222,2()log(),23xxfxaxaxx(2)fa为A．或；B．或；33a33a33a33aC．或；D．或；33a26a33a26a7．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落6在小正方形内的概率是（　）A．B．C．D．43232324348．已知直线与双曲线的斜率为正的渐近线交于点by20,012222babyax，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率A21FF、15tan12FAF为（）A．或B．C．D．41116111624第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9．已知函数，则2.2,22,6)2(xxxxfx)2(f10．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为6．11．已知实数，满足约束条件，则的最大值___2____．y010xyxyx≤≤≥2zxy12．如果，，，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为1P2P…10PC24yx，，，，是抛物线C的焦点，若，则1x2x…10x121010xxxL___20______．1210PFPFPFL13．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，ABC△ABC1cos4B4b，则的面积为__________．sin2sinACABC△1514．已知四棱椎中，底面是边长为2的菱形，且，则PABCDABCDPAPD四棱锥体积的最大值为_______．PABCD43三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．已知数列{na}是等差数列，首项，且是与的等比中11a13a12a24a项．（1）求数列{na}的通项公式；（2）设，求数列{nb}的前n项和nS．12nnnaab解：(1)设数列的公差为d，a1＝1，且是与的等比中na13a12a24a项．，2114223aaaddd332222或1,d2d当时，，是与的等比中项矛盾，舍去.1d013a13a12a24a数列的通项公式为na12nan(2)1211211212221nnnnaabnnn12122752532312nnSn12112171515131311nn1221211nnn16.已知函数．22cos23sinsin2fxxxx（1）求的最小正周期；fxT（2）在中，内角所对的边分别是．若，ABCABC、、abc、、32Af且面积，求的值．22214Sacbba解：（1）1cos23sin2fxxx12sin26xT（2）由已知得3A又22211cos42acbacB即1sin2SacBsincosBB4Bsin6sin3bBaA17．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：xy月份i123456销售单价（元）ix99.51010.5118销售量（件）iy111086514.2（1）根据1至5月份的数据，求出关于的回归直线方程；yx（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：ˆˆˆybxa2121xnxyxnyxbniiniii．,39251iiiyx5.502512iix解：（1）解析：（1）因为，11995101051110,1110865855xy．．·8)5681011(51y所以，则，23925108325025510ˆb．．ˆ8321040a．于是关于的回归直线方程为；yxˆ3240yx．（2）当时，，则8x32840144ˆy．．5.02.02.144.14yy所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为，则W，22532403248100(25125)Wxxxxx．．．．．因为，215321510032100802xxWxx．．当且仅当，即时，取最大值．15xx75x．W所以该产品的销售单价定为7．5元/件时，获得的利润最大18.如图，在四棱锥PABCD中，//ADBC，22ABADBC，PBPD，3PA.（１）求证：PABD；（２）若PAAB，22BD，E为PA的中点．　　（i）过点C作一直线l与BE平行，在图中画出直线l并说明理由；　　（ii）求平面BEC将三棱锥PACD分成的两部分体积的比．证明：(1)取中点,连接,BDOAOPO,为中点ABADQOBDAOBD又,为中点PBPDOBDPOBD又AOPOOI面BDPAO又面PAPAOPABD(2)(i)取中点,连接,,则，即为所作直线PDFCFEF//CFBECFl理由如下:在中、分别为、中点QPADEFPAPD,且//EFAD112EFAD又,//ADBCQ112BCADEADBPCOFEADBPC且//EFBC=EFBC四边形为平行四边形.BCFE//CFBE(ii),,PAABQPABDABBDBI面PAABD又在中,,,ABD2ABAD22BD222ABADBDABAD又,PAABPAADAI面ABPAD方法一：1123223323PACDV1133(12)23222CAEFDV2333=326PECFV316=332PECFCAEFDVV方法二：在中，为中位线QPADEF14PEFPADSS113143PEFCPEFCPADPADSABVVSAB1=3PECFCAEFDVV方法三：12EFADQ113143PECFPECDPACPACSEFVVSAD…1=3PECFCAEFDVV19.已知函数f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若函数h(x)＝在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在f（x）＋g（x）x极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．(1)f(x)＝(3－x)ex，f′(x)＝(2－x)ex，令f′(x)＝0，解得x＝2，列表如下：所以当x＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e2，无极小值．(2)由y＝f(x)g(x)＝(3－x)(x＋a)ex，得y′＝ex[－x2＋(3－a)x＋3a－2x＋(3－a)]＝ex[－x2＋(1－a)x＋2a＋3]．因为ex0，令m(x)＝－x2＋(1－a)x＋2a＋3，所以函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立，所以解得a≥－3，{m（1）≥0，m（2）≥0，)故a的取实范围是[－3，＋∞)．(3)由题意得h(x)＝＝，f（x）＋g（x）x（3－x）ex＋x＋ax则h′(x)＝.ex（－x2＋3x－3）－ax2令r(x)＝ex(－x2＋3x－3)－a,因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根，即r(x)＝ex(－x2＋3x－3)－a＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x1，x2(x1x2)．(10分)因为r′(x)＝ex(－x2＋3x－3－2x＋3)＝ex(－x2＋x)＝x(1－x)ex，所以当x∈(0，1)时，r′(x)0，r(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，r′(x)0，r(x)单调递减，则0x11，所以解得－3a－e，{r（0）0，r（1）0，)所以r＝－e－a－e＋30.(32)34323432因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)0，r(1)·r0，(32)所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间上各有一个实数根，(1，32)所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3a－e，并且在区间(0，1)上存在极小值f(x1)，在区间上存在极大值f(x2)，(1，32)所以h(x2)＝，且h′(x2)＝＝（3－x2）ex2＋x2＋ax2ex2（－x＋3x2－3）－ax0，所以a＝ex2(－x＋3x2－3)，22所以h(x2)＝[(3－x2)ex2＋x2＋ex2(－x＋3x2－3)]×＝ex2(2－x2)＋1，221x2令H(x)＝ex(2－x)，则H′(x)＝ex(1－x)，当x∈(1，＋∞)时，H′(x)0，H(x)单调递减，因为x2∈，(1，32)所以hh(x2)h(1)，(32)即h(x2)∈，(12e32＋1，e＋1)则3e＋1e＋14.1232因为h(x)的极大值小于整数b，所以满足题意的整数b的最小值为4.20．在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线xoyP1)2(:22yxQP相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．1xPC(1)求曲线的轨迹方程；C(2)设过定点的动直线与曲线交于两点，试问：在曲线上)0,2(SlCBA,C是否存在点（与两点相异），当直线