新课标版数学（理）高三总复习之4-2三角函数

高考调研第1页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第四章三角函数高考调研第2页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第2课时同角三角函数的基本关系式及诱导公式高考调研第3页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法．2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(π2±α，π±α的正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导公式求三角函数值，感受诱导公式的变化规律．高考调研第4页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意本课内容是高考热点之一，通常出现在选择或填空题中，复习时应注意控制难度．高考调研第5页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．同角三角函数基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：.sin2α＋cos2α＝1tanα＝sinαcosα高考调研第8页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．角的对称相关角的终边对称性α与π＋α关于对称α与π－α关于对称α与－α关于对称α与π2－α关于对称原点y轴x轴y＝x高考调研第9页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习sincostan2kπ＋α－απ＋απ－απ2－απ2＋α3．诱导公式sinαcosαtanα－sinαcosα－tanα－sinα－cosαtanαsinα－cosα－tanαcosαsinαcosα－sinα高考调研第10页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．(课本习题改编)sin(－103π)＝________；cos2490°＝________.答案3232高考调研第11页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6答案D解析sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6，故选D.高考调研第12页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2015·辽宁五校)已知cos(π2＋α)＝35，且α∈(π2，3π2)，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．±34答案B解析因为cos(π2＋α)＝35，所以sinα＝－35.显然α在第三象限，所以cosα＝－45，故tanα＝34.高考调研第13页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于()A.15B．－15C.513D．－513答案D高考调研第14页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．已知tanx＝2，则sin2x＋1的值为()A．0B.95C.43D.53答案B解析sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95，故选B.高考调研第15页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第16页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型一诱导公式例1(1)化简：sin－α－3π2sin3π2－αtan22π－αcosπ2－αcosπ2＋αsinπ＋α.(2)若n∈Z，化简：sinnπ－α·cosnπ＋αsin[n＋1π＋α]·cos[n＋1π－α].高考调研第17页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)原式＝cosα－cosαtan2αsinα－sinα－sinα＝－1sinα.(2)方法一：n为奇数时，原式＝sinα·－cosαsinα·cos－α＝－1；n为偶数时，原式＝sin－α·cosα－sinα－cosα＝－1.综上可知，原式＝－1.高考调研第18页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：原式＝sinnπ－α·cosnπ＋αsin[π＋nπ＋α]cos[π＋nπ－α]＝sinnπ－αcosnπ＋αsinnπ＋αcosnπ－α＝sin[2nπ－nπ＋α]cosnπ＋αsinnπ＋α·cos[2nπ－nπ＋α]＝－sinnπ＋αcosnπ＋αsinnπ＋αcosnπ＋α＝－1.【答案】(1)－1sinα(2)－1高考调研第19页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1熟练运用诱导公式是本题的关键．诱导公式除了正面用于化简外，还应掌握它的逆向应用，从角的形式上分析出两角之间的关系．高考调研第20页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1(1)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋712π)的值为()A.13B．－13C．－232D.232【解析】cos(α＋7π12)＝cos(π2＋α＋π12)＝－sin(α＋π12)＝－13，选B.【答案】B高考调研第21页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan(α－72π)的值．高考调研第22页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)·tan(α－72π)＝(－sinα)·[－tan(72π－α)]＝sinα·tan(32π－α)＝sinα·cosαsinα＝cosα＝35.【答案】35高考调研第23页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型二同角三角函数的基本关系式例2(1)已知cosα＝513，且α是第四象限角，求sinα和tanα.(2)已知tanα＝512，求sinα.高考调研第24页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)因为cosα＝513，且α是第四象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－5132＝－1213.所以tanα＝sinαcosα＝－1213513＝－125.高考调研第25页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)∵tanα＝512，∴sinαcosα＝512.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋(125sinα)2＝1，∴sinα＝±513.∴当α为第一象限角时，sinα＝513；当α为第三象限角时，sinα＝－513.【答案】(1)－125(2)sinα＝±513高考调研第26页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2本例属同角三角关系式中的基本题，关键是掌握住“先开方，后作商”的原则，先求与sinα的平方关系相联系的cosα，再由公式求tanα.例2(2)中α的范围不确定，须讨论确定开方的符号．高考调研第27页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2(1)已知cos(π＋x)＝35，x∈(π，2π)，则tanx等于()A．－34B．－43C.34D.43高考调研第28页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】cos(π＋x)＝－cosx＝35，∴cosx＝－350.∴x∈(π，3π2)．此时sinx＝－45，∴tanx＝43，故选D.【答案】D高考调研第29页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知sinα＝m(m≠0，且m≠±1)，求tanα.【解析】∵sinα＝m(m≠0，且m≠±1)，∴cosα＝±1－sin2α＝±1－m2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tanα＝m1－m2；当α为第二、三象限角时，tanα＝－m1－m2.【答案】m1－m2或－m1－m2高考调研第30页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型三考查sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系例3已知sinθ＋cosθ＝713，θ∈(0，π)，则(1)sinθ－cosθ＝________；(2)sin3θ＋cos3θ＝________；(3)tanθ＝________.高考调研第31页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)∵sinθ＋cosθ＝713，∴(sinθ＋cosθ)2＝49169.∴2sinθcosθ＝－120169.又θ∈(0，π)，∴sinθ0，cosθ0.∴sinθ－cosθ＝sinθ－cosθ2＝sin2θ－2sinθcosθ＋cos2θ＝1713.高考调研第32页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝713×(1＋60169)＝16032197.(3)方法一：由sinθ＋cosθ＝713，sinθ－cosθ＝1713，解得sinθ＝1213，cosθ＝－513.∴tanθ＝－125.高考调研第33页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：因为sinθ＋cosθ＝713，sinθcosθ＝－60169，由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－713x－60169＝0的两根，所以x1＝1213，x2＝－513.又sinθcosθ＝－601690，所以sinθ0，cosθ0.所以sinθ＝1213，cosθ＝－513.所以tanθ＝sinθcosθ＝－125.高考调研第34页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法三：同方法二，得sinθcosθ＝－60169，所以sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝－60169.齐次化切，得tanθtan2θ＋1＝－60169，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，解得tanθ＝－125或tanθ＝－512.高考调研第35页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝7130，sinθcosθ＝－601690，所以θ∈(π2，3π4)，所以tanθ＝－125.【答案】(1)1713(2)16032197(3)－125高考调研第36页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究3(1)已知asinx＋bcosx＝c可与sin2x＋cos2x＝1联立，求得sinx，cosx.(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，可求其余两个代数式的值．高考调研第37页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题3已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15，则1cos2α－sin2α＝________.【解析】由sinα＋cosα＝15，可求得sinα－cosα＝75.∴1cos2α－sin2α＝1cosα－sinαcosα＋sinα＝115×－75＝－257.【答案】－257高考调研第38页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习自助餐高考调研第39页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1.cos2600°等于________．答案12解析cos2600°＝|cos120°|＝|－12|＝12.高考调研第40页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．下列各数中与sin2015°的值最接近的是()A.12B.32C．－12D．－32答案C解析2015°＝5×360°＋180°＋35°，∴sin2015°＝－sin35°和－sin30°接近，选C.高考调研第41页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3.1＋2sinπ－3cosπ＋3化简的结