新课标版数学（理）高三总复习之4-1三角函数

高考调研第1页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第四章三角函数高考调研第2页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第1课时三角函数的基本概念高考调研第3页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化．3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义．高考调研第4页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意本节内容高考一般不直接考查，但它是后续各节的基础，是学习三角函数必须掌握的基本功．高考调研第5页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．角的概念(1)象限角：角α的终边落在就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限．(2)终边相同的角：．(3)与α终边相同的角的集合为____________________________．第几象限两角的终边重合{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}高考调研第8页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(4)各象限角的集合为Ⅰ象限：_____________________________________，Ⅱ象限：__________________________________________，Ⅲ象限：_____________________________________________，Ⅳ象限：．{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}{α|k·360°－90°αk·360°，k∈Z}高考调研第9页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．弧度制(1)什么叫1度的角：______________________________________________．(2)什么叫1弧度的角：___________________________________________．把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角(3)1°＝弧度；1弧度＝度．(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝，面积S＝＝.π180180π|α|·r12|α|r212lr高考调研第10页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__，cosα＝__，tanα＝__.yrxryx高考调研第11页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)三角函数在各象限的符号是：sinαcosαtanαⅠ_________Ⅱ_________Ⅲ_________Ⅳ_________图14．三角函数线如图1所示，正弦线为；余弦线为；正切线为.＋＋＋＋－－－－＋－＋－MPOMAT高考调研第12页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)小于90°的角是锐角．(2)若将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是π3.(3)角α＝kπ＋π3(k∈Z)是第一象限角．(4)若sinα＝sinπ7，则α＝π7.高考调研第13页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(5)－300°角与60°角的终边相同．(6)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B.答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2．点P(sin2015°，cos2015°)位于第________象限．答案三高考调研第14页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a的值为()A．43B．－43C．±43D.3答案B解析tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a＝－43.高考调研第15页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在答案A解析∵π223π43π2，∴sin20，cos30，tan40.∴sin2·cos3·tan40，∴选A.高考调研第16页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．2sin1C.2sin1D．sin2答案C解析∵2Rsin1＝2，∴R＝1sin1，l＝|α|R＝2sin1，故选C.高考调研第17页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第18页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型一角的有关概念例1设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°－0°之间找出与它们有相同终边的所有角．高考调研第19页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角的表示方法．(1)α1＝－350°＝－350180π＝－35π18＝－2π＋π18，α2＝860°＝860180π＝439π＝4π＋79π.∴α1在第一象限，α2在第二象限．高考调研第20页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)∵35π＝35×180°＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，∵－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°.∴k＝－2或k＝－1，∴在－720°－0°之间与β1有相同的终边的角是－612°和－252°，同理β2＝－420°，且在－720°－0°间与β2有相同终边的角是－60°.【答案】(1)α1＝－2π＋π18，α2＝4π＋79π(2)β1＝108°，终边相同的角－612°，－252°；β2＝－420°，终边相同的角－60°高考调研第21页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍，而不是π的整数倍，若要求出在某一指定范围内的某种特殊的角，通常可像本例一样化为解不等式去求出对应的k值．高考调研第22页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(1)有下列各式：思考题1①sin1125°；②tan3712π·sin3712π；③sin4tan4；④sin(－1)．其中为负值的是________．(2)在区间[－720°，0°]内找出所有与45°角终边相同的角β.高考调研第23页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限．对于①，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan3712π0，sin3712π0，故tan3712π·sin3712π0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin40，tan40，故sin4tan40；对于④，∵－π2－1－π4，∴sin(－1)0，综上，②③④为负数．高考调研第24页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.【答案】(1)②③④(2)－675°或－315°高考调研第25页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习例2已知角α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？【解析】①∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z.∴－2kπ－π2＜π－α＜－2kπ，k∈Z.∴π－α是第四象限角．高考调研第26页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习②∵kπ＋π2α2kπ＋3π4，k∈Z.∴α2是第二或第四象限角．③∵4kπ＋2π2α4kπ＋3π，k∈Z，∴2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角．【答案】①四②二③2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角高考调研第27页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)判断θ在哪个象限，只需把θ改写成θ0＋k·360°，k∈Z，其中θ0∈[0°，360°)即可．(2)对α2判断象限问题可采用等分象限法．高考调研第28页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(1)如果α为第一象限角，那么①sin2α，②cos2α；③sinα2；④cosα2中必定为正值的是________．【答案】①思考题2高考调研第29页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)若sinθ2＝45，且sinθ0，则θ所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵sinθ0，∴2sinθ2cosθ20.又∵sinθ2＝45，∴cosθ20.故θ2在第二象限，且2kπ＋π2θ22kπ＋34π(k∈Z)．∴4kπ＋πθ4kπ＋32π，∴θ在第三象限．【答案】C高考调研第30页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型二三角函数的定义例3已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α终边经过点P(－3，y)，且sinα＝34y(y≠0)，则判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值．高考调研第31页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】依题意，P到原点O的距离为|PO|＝－32＋y2，∴sinα＝yr＝y3＋y2＝34y.∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝73，∴y＝±213.∴点P在第二或第三象限．当P在第二象限时，y＝213，cosα＝xr＝－34，tanα＝－73.当P在第三象限时，y＝－213，cosα＝xr＝－34，tanα＝73高考调研第32页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】当α在第二象限时，cosα＝－34，tanα＝－73；当α在第三象限时，cosα＝－34，tanα＝73高考调研第33页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究3三角函数的定义是研究三角问题的基础，在数学学习中，利用定义解题是一种良好的思维方式，因为定义是一切基本问题的出发点，对数学定义的反复应用必将增强对知识的理解与掌握，是学好数学的有效途径．高考调研第34页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题3若角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋3cosα＝________.【解析】设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝x2＋y2＝k2＋－3k2＝10|k|.当k0时，r＝10k.∴sinα＝－3k10k＝－310，1cosα＝10kk＝10.∴10sinα＋3cosα＝－310＋310＝0.高考调研第35页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习当k0时，r＝－10k.∴sinα＝－3k－10k＝310，1cosα＝－10kk＝－10.∴10sinα＋3cosα＝310－310＝0.综上，10sinα＋3cos