新课标版数学（理）高三总复习之4-4三角函数

高考调研第1页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第四章三角函数高考调研第2页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第4课时简单的三角恒等变换高考调研第3页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．高考调研第4页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容．2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．高考调研第5页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐课外阅读题组层级快练高考调研第6页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)tan2α＝2tanα1－tan2α(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝；(2)cos2α＝＝－1＝1－；2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α2sin2α高考调研第8页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．半角公式(不要求记忆)(1)sinα2＝；(2)cosα2＝；(3)tanα2＝＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα高考调研第9页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝；α2＝；3α＝都适用．4．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；升幂公式cos2α＝＝.2·2α2·α42·3α21＋cos2α21－cos2α22cos2α－11－2sin2α高考调研第10页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．下列各式中，值为32的是________．①2sin15°cos15°；②cos215°－sin215°；③2sin215°－1;④sin215°＋cos215°.答案②高考调研第11页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．已知sin10°＝a，则sin70°等于()A．1－2a2B．1＋2a2C．1－a2D．a2－1答案A解析由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2.故选A.高考调研第12页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2015·山东淄博一模)已知tanα＝2，那么sin2α的值是()A．－45B.45C．－32D.35答案B解析sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45.选B.高考调研第13页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．答案17250解析因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725.所以sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝22×1725＝17250.高考调研第14页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ＝__________.答案－45解析方法一：sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2(θ＋π4)＝－1－tan2θ＋π41＋tan2θ＋π4＝45，cos2θ＝sin2(θ＋π4)＝2tanθ＋π41＋tan2θ＋π4＝35，高考调研第15页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习∴原式＝45－35－1＝－45.方法二：tan(π4＋θ)＝3，1＋tanθ1－tanθ＝3，解得tanθ＝12，sin2θ－2cos2θ＝2sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝2tanθ－2tan2θ＋1＝－45.高考调研第16页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第17页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型一求值例1求值：(1)cosπ9cos2π9cos3π9cos4π9；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．高考调研第18页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【思路】(1)注意到π9，2π9，4π9之间的关系，可考虑分子分母同时乘以sinπ9，这样即可连续使用二倍角的正弦公式，从而实现化简的目的．(2)切化弦、通分．高考调研第19页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)方法一：cosπ9cos2π9cos3π9cos4π9＝12cosπ9cos2π9cos4π9＝12·8sinπ9cosπ9cos2π9cos4π98sinπ9＝12·4sin2π9cos2π9cos4π98sinπ9高考调研第20页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习＝12·2sin4π9cos4π98sinπ9＝12·sin8π98sinπ9＝12·sinπ－π98sinπ9＝12·sinπ98sinπ9＝116.方法二：由sin2α＝2sinαcosα，得cosα＝sin2α2sinα.∴原式＝sin2π92sinπ9·sin4π92sin2π9·12·sin8π92sin4π9＝116.高考调研第21页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°(cos5°sin5°－sin5°cos5°)＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°高考调研第22页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.【答案】(1)116(2)32高考调研第23页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)求值式子结构不同，引起恒等变换的方向有差异，但二倍角公式及其变形公式的应用是一致的．(2)要正确把握公式的结构、明确变形方向，才能准确地应用公式，达到求解目的．高考调研第24页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习求下列式子的值：(1)sin10°·sin50°·sin70°；思考题1【解析】原式＝cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝2sin40°cos40°cos80°4sin20°＝2sin80°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝sin20°8sin20°＝18.【答案】18高考调研第25页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)sin18°cos36°.【解析】原式＝2sin18°cos18°cos36°2cos18°＝2sin36°cos36°4cos18°＝sin72°4cos18°＝14.【答案】14高考调研第26页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习例2已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsinπ4＋α＝________.高考调研第27页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】cos2αsinπ4＋α＝sinπ2＋2αsinπ4＋α＝2cos(π4＋α)＝2cos[π2－(π4－α)]＝2sin(π4－α)，∵0απ4，∴0π4－απ4.又cos(π4－α)＝1213，∴sin(π4－α)＝1－cos2π4－α＝1－12132＝513，∴原式＝2×513＝1013.【答案】1013高考调研第28页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)该题对三角函数性质和三角公式的考查有一定的综合性和灵活性．演算的推理性较强，尤其表现在确定三角函数值的正负时，必须应用一定的技巧，增添了解答的难度．不过，所需要用到的公式和性质，都是最基础的，为多数考生所熟悉．因此，绝大多数的考生都能入手解题，不致束手无策．(2)解决此类问题相对来说，已知条件中的角α＋π4，尽量不拆开而作为一个整体去表示其他角，这样可减少运算量．高考调研第29页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)注意下列变换：sin2x＝cos(π2－2x)，sin2x＝－cos(π2＋2x)，cos2x＝sin(π2－2x)，cos2x＝sin(π2＋2x)．以上变换，结合二倍角公式可将2x的三角函数与π4±x的三角函数联系在一起．高考调研第30页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2(1)已知cos(π4－α)＝35，－3π2α－π2.求cos(2α－π4)的值．【解析】方法一：cos2(α－π4)＝2cos2(π4－α)－1＝2×(35)2－1＝－725.∵－7π4α－π4－3π4，且cos(π4－α)＝350，从而sin(α－π4)＝45，高考调研第31页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习sin2(α－π4)＝2sin(α－π4)cos(α－π4)＝2425，cos(2α－π4)＝cos[2(α－π4)＋π4]＝22[cos2(α－π4)－sin2(α－π4)]＝－31502.高考调研第32页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：由cos(π4－α)＝35，得22(cosα＋sinα)＝35.①两边平方，得1＋2cosαsinα＝1825.sin2α＝2cosαsinα＝－725，(cosα－sinα)2＝1－(－725)＝3225.根据2cosαsinα＝－7250及－3π2α－π2，高考调研第33页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习知－3π2α－π，所以cosα0，sinα0.故有cosα－sinα＝－425.②①×②，得cos2α＝－2425.cos(2α－π4)＝22(cos2α＋sin2α)＝－31502.【答案】－31502高考调研第34页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)若cos(π4＋x)＝35，1712π＜x＜74π，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．【解析】∵17π12x7π4，∴5π3π4＋x2π.又cos(π4＋x)＝35，sin(π4＋x)＝－45，∴cosx＝cos[(π4＋x)－π4]＝cos(π4＋x)cosπ4＋sin(π4＋x)sinπ4＝－210.高考调研第35页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习∴sinx＝－7210，tanx＝7.∴sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－tanx＝2－7210·－210＋2－721021－7＝－2875.【答案】－2875高考调研第36页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型二化简例3化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.【解析】方法一：(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12