新课标版数学（理）高三总复习之4-6三角函数

高考调研第1页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第四章三角函数高考调研第2页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第6课时三角函数的性质高考调研第3页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期．2．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题．请注意近两年的新课标高考对三角变换的考查要求有所降低，而对三角函数的图像与性质考查有所加强，但以选择填空为主．高考调研第4页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．三角函数的性质．函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx周期性奇偶性T＝2πT＝2πT＝π奇函数偶函数奇函数高考调研第7页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性增区间减区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)高考调研第8页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称轴x＝π2＋kπx＝kπ无对称性对称中心(kπ，0)(π2＋kπ，0)(kπ2，0)高考调研第9页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2.y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|.y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.3．(1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)形式的函数单调性，应利用复合函数单调性研究．(3)注意各性质应从图像上去认识，充分利用数形结合解决问题．高考调研第10页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)y＝sinx在第一象限是增函数．(2)y＝sinx在[0，π]上是增函数．(3)y＝cosx在[0，π]上是减函数．(4)y＝tanx在整个定义域上是增函数．(5)y＝sin(x＋3π2)是奇函数．答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×高考调研第11页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．函数f(x)＝1－2sin2x是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数答案D解析∵f(x)＝1－2sin2x＝cos2x，∴T＝2πω＝2π2＝π.∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．高考调研第12页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．若函数y＝cos(ωx－π6)(ω0)的最小正周期为π5，则ω＝________.答案10解析T＝2πω＝π5⇒ω＝10.高考调研第13页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③答案A高考调研第14页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习解析①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cosx|，最小正周期为π；③y＝cos2x＋π6，最小正周期为π；④y＝tan2x－π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.高考调研第15页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．(1)函数y＝sin(x＋π4)的单调递增区间是________；(2)函数y＝tan(12x－π4)的单调递增区间是________．答案(1)[2kπ－3π4，2kπ＋π4](k∈Z)；(2)(2kπ－π2，2kπ＋32π)(k∈Z)高考调研第16页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习解析(1)由2kπ－π2≤x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－34π≤x≤2kπ＋π4(k∈Z)．(2)由kπ－π212x－π4kπ＋π2，得kπ－π412xkπ＋34π.∴2kπ－π2x2kπ＋32π(k∈Z)．高考调研第17页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第18页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型一三角函数的周期性例1求下列函数的周期：(1)y＝2sin23x＋π3；(2)y＝|cosx|；(3)y＝|tanx|；(4)y＝sin2x＋3cos2x.【解析】(1)∵y＝2sin23x＋π3，∴T＝2π23＝3π，即y＝2sin23x＋π3的周期为3π.高考调研第19页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)作图可知T＝π.(3)作图可知T＝π.(4)y＝sin2x＋3cos2x＝212sin2x＋32cos2x＝2sin2x·cosπ3＋cos2x·sinπ3＝2sin2x＋π3，∴T＝2π2＝π.【答案】(1)3π(2)π(3)π(4)π高考调研第20页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1求三角函数最小正周期的基本方法有两种：一是将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式；二是利用图像的根本特征求，作出图像，观察得出．高考调研第21页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(1)f(x)＝|sinx－cosx|的最小正周期为________．【答案】π思考题1高考调研第22页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)若f(x)＝sinωx(ω0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是________．【解析】由f(x)＝sinωx(ω0)的图像知高考调研第23页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习在[0,1]上至少存在50个最小值点，∵一个周期内有一个最小值点，∴1≥49T＋3T4＝199T4＝1994·2πω.∴ω≥1992π.【答案】ω≥1992π【讲评】ω的值与周期有关，熟练掌握一个周期内的单调性、最值性、对称性等性质．高考调研第24页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin(3x4＋3π2)；(2)f(x)＝xsin(5π－x)．高考调研第25页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)∵x∈R，f(x)＝sin(3x4＋3π2)＝－cos3x4，∴f(－x)＝－cos3－x4＝－cos3x4＝f(x)．∴函数f(x)＝sin(3x4＋3π2)为偶函数．(2)f(x)＝xsin(π－x)＝xsinx，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)．∴f(x)为偶函数．【答案】(1)偶函数(2)偶函数高考调研第26页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图像的性质，对y＝Asin(ωx＋φ)，代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小则为偶函数．高考调研第27页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习判断下列函数的奇偶性：思考题2(1)y＝sin(2x＋π2)；(2)y＝tan(x－3π)；(3)f(x)＝cosx1－sinx1－sinx；(4)f(x)＝sin(2x－3)＋sin(2x＋3)．高考调研第28页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)偶函数．(2)奇函数．(3)1－sinx≠0，∴sinx≠1，∴{x|x≠π2＋2kπ，k∈Z}．∴f(x)定义域不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数．(4)∵f(x)＝2sin2xcos3，∴f(－x)＝2sin(－2x)cos3＝－2sin2xcos3＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)非奇非偶函数(4)奇函数高考调研第29页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型三三角函数图像的对称性例3(1)求函数f(x)＝sin(2x－π6)的对称中心和对称轴方程．(2)设函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－π6对称，求实数a的值．(3)求函数y＝tan(x2＋π3)的图像的对称中心．高考调研第30页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)思路：利用三角函数的图像，把2x－π6看做一个变量，用换元的方法求对称中心或对称轴方程，也可以考虑y＝sinx与y＝sin(2x－π6)的关系，利用变换的思想求对称轴与对称中心．高考调研第31页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法一：设A＝2x－π6，则函数y＝sinA对称中心为(kπ，0)，即2x－π6＝kπ，x＝kπ2＋π12(k∈Z)．对称轴方程为2x－π6＝π2＋kπ，x＝π3＋k2π(k∈Z)．所以y＝sin(2x－π6)的对称中心为(kπ2＋π12，0)．对称轴为x＝π3＋k2π(k∈Z)．高考调研第32页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：由2x－π6＝2(x－π12)，知y＝sin(2x－π6)图像是由y＝sin2x图像向右平移了π12个单位．所以对称轴与对称中心也相应地向右平移π12个单位．而y＝sinx的对称中心(kπ，0)，对称轴方程为x＝kπ＋π2，所以y＝sin(2x－π6)的周期为π，对称中心为(kπ2＋π12，0)，对称轴方程为x＝π3＋kπ2(k∈Z)．高考调研第33页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)思路：利用对称的定义或利用对称轴的位置特征求解．方法一：因为y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋θ)，其中θ由tanθ＝a确定．又图像关于x＝－π6对称，故在x＝－π6处，函数应取得最大或最小值．所以x＝－π6时，y＝sin－π3＋acos－π3＝－32＋12a＝±1＋a2，解得a＝－33.高考调研第34页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：因为函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－π6对称．所以到x＝－π6距离相等的x值对应函数值相等．即f(－π6＋x)＝f(－π6－x)对定义域内任何值都成立．令x＝π6，得f(0)＝f(－π3)．所以0＋a＝sin(－2π3)＋acos(－2π3)．解得a＝－33.高考调研第35页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法三：∵函数关于x＝－π6对称，∴x＝－π6为函数的极值点，∴f′(－π6)＝0.即(2cos2x－2asin2x)|x＝－π6＝0.∴cos(－π3)－asin(－π3)＝0.∴a＝－33.高考调研第36页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)由x2＋π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ－23π，即其对称中心为(kπ－23π，0)(k∈Z)．【答案】(1)对称中心为(kπ2＋π12，0)，对称轴方程为x＝π3＋kπ2(k∈Z)(2)a＝－33(3)(kπ－2π3，0)，k∈Z高考调研第37页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究3求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．(1)∵y＝sinx的对称中心是(kπ，0)，∴y＝Asin(ωx＋φ)的中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x即可．高考调研第38页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)∵y＝sinx的对称轴是x＝kπ＋π2，k∈Z，∴ωx＋φ＝kπ＋π2解出x，即为函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴．(3)注意y＝tanx的对称中心为(12kπ，0)(k∈Z)．高考调研第39页第四章三角函数新课标版