高一数学宝典-不等式的解法

1第四讲不等式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．一、一元二次不等式及其解法1．形如20(0)(0)axbxca或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式．【例1】解不等式260xx．分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则---正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．解：原不等式可以化为：(3)(2)0xx，于是：3020xx或3020xx333222xxxxxx或或所以，原不等式的解是32xx或．说明：当把一元二次不等式化为20(0)axbxc或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．【例2】解下列不等式：(1)(2)(3)6xx(2)(1)(2)(2)(21)xxxx分析：要先将不等式化为20(0)axbxc或的形式，通常使二次项系数为正数．解：(1)原不等式可化为：2120xx，即(3)(4)0xx于是：3030344040xxxxx或所以原不等式的解是34x．(2)原不等式可化为：240xx，即240(4)0xxxx于是：00044040xxxxxx或或所以原不等式的解是04xx或．2．一元二次不等式20(0)axbxc或与二次函数2(0)yaxbxca及一元二次方程20axbxc的关系(简称：三个二次)．2以二次函数26yxx为例：(1)作出图象；(2)根据图象容易看到，图象与x轴的交点是(3,0),(2,0)，即当32x或时，0y．就是说对应的一元二次方程260xx的两实根是32x或．(3)当32xx或时，0y，对应图像位于x轴的上方．就是说260xx的解是32xx或．当32x时，0y，对应图像位于x轴的下方．就是说260xx的解是32x．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)将二次项系数先化为正数；(2)观测相应的二次函数图象．①如果图象与x轴有两个交点12(,0),(,0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,xx(也可由根的判别式0来判断)．那么(图1)：2120(0)axbxcaxxxx或2120(0)axbxcaxxx②如果图象与x轴只有一个交点(,0)2ba，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22xbxxa(也可由根的判别式0来判断)．那么(图2)：20(0)2baxbxcaxa20(0)axbxca无解3③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0来判断)．那么(图3)：20(0)axbxcax取一切实数20(0)axbxca无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,xx．那么“0”型的解为12xxxx或(俗称两根之外)；“0”型的解为12xxx(俗称两根之间)；(3)否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24bacbaxbxcaxaa，结合完全平方式为非负数的性质求解．【例3】解下列不等式：(1)2280xx(2)2440xx(3)220xx解：(1)不等式可化为(2)(4)0xx∴不等式的解是24x(2)不等式可化为2(2)0x∴不等式的解是2x(3)不等式可化为217()024x．【例4】已知对于任意实数x，22kxxk恒为正数，求实数k的取值范围．解：显然0k不合题意，于是：222000111(2)4010kkkkkkkk或【例5】已知关于x的不等式22(1)30kxkx的解为13k，求k的值．分析：对应的一元二次方程的根是1和3，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．解：由题意得：2011313(1)3kkkkk说明：本例也可以根据方程有两根1和3，用代入法得：22(1)(1)(1)30kk，42233(1)30kk，且注意0k，从而1k．二、简单分式不等式的解法【例6】解下列不等式：(1)2301xx(2)2301xxx分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．解：(1)解法(一)原不等式可化为：3323023031221010211xxxxxxxxx或或解法(二)原不等式可化为：3(23)(1)012xxx．(2)∵22131()024xxx原不等式可化为：303xx【例7】解不等式132x解：原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx或说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．(2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx或或或三、含有字母系数的一元二次不等式一元一次不等式最终可以化为(0)axba的形式．(1)当0a时，不等式的解为：bxa；(2)当0a时，不等式的解为：bxa；(3)当0a时，不等式化为：0xb；①若0b，则不等式的解是全体实数；②若0b，则不等式无解．5【例8】求关于x的不等式222mxmxm的解．解：原不等式可化为：(2)2mmxm(1)当202mm即时，1mx，不等式的解为1xm；(2)当202mm即时，1mx．①02m时，不等式的解为1xm；②0m时，不等式的解为1xm；③0m时，不等式的解为全体实数．(3)当202mm即时，不等式无解．综上所述：当0m或2m时，不等式的解为1xm；当02m时，不等式的解为1xm；当0m时，不等式的解为全体实数；当2m时，不等式无解．练：解不等式（1）22210xaxa（2）210axxax【例9】已知关于x的不等式22kkxx的解为12x，求实数k的值．分析：将不等式整理成axb的形式，可以考虑只有当0a时，才有形如bxa的解，从而令12ba．解：原不等式可化为：2(1)2kxk．所以依题意：2101332121212kkkkkk或．练习6A组1．解下列不等式：(1)220xx(2)23180xx(3)231xxx(4)(9)3(3)xxx2．解下列不等式：(1)101xx(2)31221xx(3)21x(4)221021xxx3．解下列不等式：(1)22222xxx(2)21110235xx4．已知不等式20xaxb的解是23x，求,ab的值．5．解关于x的不等式(2)1mxm．6．已知关于x的不等式22kxkkx的解是1x，求k的值．7．已知不等式220xpxq的解是21x，求不等式220pxqx的解．B组1．已知关于x的不等式20mxxm的解是一切实数，求m的取值范围．2．若不等式2231xxkk的解是3x，求k的值．3．解关于x的不等式2256xaxa．4．a取何值时，代数式2(1)2(2)2aa的值不小于0？5．已知不等式20axbxc的解是x，其中0，求不等式20cxbxa的解．第四讲不等式答案7A组1．1(1)0(2)36(3)1(4)32xxxx2．11(1)11(2)3(3)20(4)22xxxxxxx或或或3．(1)无解(2)全体实数4．5,6ab．5．(1)当2m时，12mxm；(2)当2m时，12mxm；(3)当2m时，x取全体实数．6．1k7．1xB组1．12m2．5k3．(1)0a时，78aax；(2)0a时，无解；(3)0a时，87aax．4．51aa或．5．11xx或．