高一数学宝典-一元二次方程

1第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa(1)当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：242bbacxa(2)当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa(3)当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310xx(2)24912yy(3)25(3)60xx解：(1)2(3)42110，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为：241290yy2(12)4490，∴原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为：256150xx2(6)45152640，∴原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．练：说出下列各方程的根的情况（1）23xx（2）2441xx（3）22xx【例2】已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：2(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．解：2(2)43412kk(1)141203kk；(2)141203kk；(3)141203kk；(4)141203kk．二、一元二次方程的根解法进一步地，在一元二次方程20(0)axbxca有实数根的前提下，该实数根具体是多？这就涉及到一元二次方程的根的求法解法一（因式分解法）若2axbxc可分解为()()pxqmxn，那么由20axbxc可得()()0pxqmxn从而得到qxp或nxm【典例】解一元二次方程220xx解：原方程可化为(1)(2)0xx故12x或练：解一元二次方程（1）24120xx（2）2260xx（3）24510xx解法二（配方法）一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa两边开方即可得到方程的根【典例】解一元二次方程220xx解：原方程可化为219()024x即219()24x故1322x从而1322x即12x或练：解一元二次方程（1）24120xx（2）2260xx（3）24510xx解法三（公式法）对于一元二次方程20(0)axbxca，(1)当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：242bbacxa3(2)当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa【典例】解一元二次方程220xx解：由2b490ac所以原方程有两个不相等的实数根所以242bbacxa191322即12x或练：解一元二次方程（1）24120xx（2）2260xx（3）24510xx三、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：2244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．【例3】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx(1)2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx(2)121212112220072007xxxxxx4(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx(4)22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．练：若12,xx是方程22530xx的两个根，试求下列各式的值（1）12xx（2）12xx(3)2212xx；(3)1211xx；(4)12(5)(5)xx；(5)12||xxA组1．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．2kB．2,1kk且C．2kD．2,1kk且2．若12,xx是方程22630xx的两个根，则1211xx的值为()A．2B．2C．12D．923．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根，则m等于()A．3B．5C．53或D．53或4．若t是一元二次方程20(0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是()A．MB．MC．MD．大小关系不能确定练习55．若实数ab，且,ab满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为()A．20B．2C．220或D．220或6．如果方程2()()()0bcxcaxab的两根相等，则,,abc之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程22(1)30xkxk的两根之差为1，则k的值是_____．9．设12,xx是方程20xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20xqxp的两实根，则p=_____，q=_____．10．已知实数,,abc满足26,9abcab，则a=_____，b=_____，c=_____．11．对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n，关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的的正实数根，求mn的值．13．已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm．(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为12,xx，且满足121112xx，求m的值．14．已知关于x的方程221(1)104xkxk的两根是一个矩形两边的长．(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是5时，求k的值．B组1．已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,xx．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x的方程230xxm的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程22(3)640kxkmxmm有实数根．63．若12,xx是关于x的方程22(21)10xkxk的两个实数根，且12,xx都大于1．(1)求实数k的取值范围；(2)若1212xx，求k的值．第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案A组1．B2．A3．A4．A5．A6．2,acbbc且7．38．9或39．1,3pq10．3,3,0abc11．正确12．413．21(1)1650(2)2mm14．3(1)(2)22kkB组1．13(1)112kk且(2)不存在2．1m(1)当3k时，方程为310x，有实根；(2)当3k时，0也有实根．3．(1)314kk且；(2)7k．