高一数学宝典-因式分解

1第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()abaabbab(立方和公式)2233()()abaabbab(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()ababaabb3322()()ababaabb这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)38x(2)30.12527b分析：(1)中，382，(2)中3330.1250.5,27(3)bb．解：(1)333282(2)(42)xxxxx(2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]bbbbb2(0.53)(0.251.59)bbb说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)abab，这里逆用了法则()nnnabab；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1)34381abb(2)76aab分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66ab，可看着是3232()()ab或2323()()ab．2解：(1)3433223813(27)3(3)(39)abbbabbabaabb．(2)76663333()()()aabaabaabab22222222()()()()()()()()aabaabbabaabbaababaabbaabb二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105axaybybx分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)axaybybxaxybxyxyab说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()abcdabcd分解因式．分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()abcdabcdabcabdacdbcd2222()()abcacdbcdabd()()()()acbcadbdbcadbcadacbd说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22xyaxay分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy.解：22()()()()()xyaxayxyxyaxyxyxya【例6】把2222428xxyyz分解因式．3分析：先将系数2提出后，得到22224xxyyz，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)xxyyzxxyyz222[()(2)]2(2)(2)xyzxyzxyz说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法1．2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq因此，2()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例7】把下列各式因式分解：(1)276xx(2)21336xx解：(1)6(1)(6),(1)(6)7276[(1)][(6)](1)(6)xxxxxx．(2)3649,491321336(4)(9)xxxx说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．【例8】把下列各式因式分解：(1)2524xx(2)2215xx解：(1)24(3)8,(3)852524[(3)](8)(3)(8)xxxxxx(2)15(5)3,(5)3242215[(5)](3)(5)(3)xxxxxx说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．练：2(1)65xx2(2)421xx（3）21130xx（4）212xx【例9】把下列各式因式分解：(1)226xxyy(2)222()8()12xxxx分析：(1)把226xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是26y，一次项系数是y，把26y分解成3y与2y的积，而3(2)yyy，正好是一次项系数．(2)由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式2812aa．解：(1)222266(3)(2)xxyyxyxxyxy(2)22222()8()12(6)(2)xxxxxxxx(3)(2)(2)(1)xxxx练：（1）42718xx（2）6312aa2．一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．【例10】把下列各式因式分解：(1)21252xx(2)22568xxyy5解：(1)21252(32)(41)xxxx3241(2)22568(2)(54)xxyyxyxy1254yy说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．练：（1）21252xx（2）2451xx（3）23103xx（4）2318xx【例11】因式分解：(1)222(2)7(2)8xxxx(2)aaxxx51522分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.解：(1)原式)82)(12(22xxxx)4)(2()1(2xxx.(2)原式)5()152(2aaxxx)5()5)(3(xaxx)3)(5(axx.练：（1）4224127mmnn（2）222xaxa四、其它因式分解的方法1．配方法【例12】分解因式2616xx解：222222616233316(3)5xxxxx(35)(35)(8)(2)xxxx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法【例13】分解因式3234xx分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解：323234(1)(33)xxxx22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]xxxxxxxxx22(1)(44)(1)(2)xxxxx说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成6可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x拆成224xy，将多项式分成两组32()xx和244x．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．A组练习71．把下列各式分解因式：(1)327a(2)38m(3)3278x(4)3311864pq(5)3318125xy(6)3331121627xyc2．把下列各式分解因式：(1)34xyx(2)33nnxxy(3)2323()amnab(4)2232(2)yxxy3．把下列各式分解因式：(1)232xx(2)23736xx(3)21126xx(4)2627xx(5)2245mmnn(6)2()11()28abab4．把下列各式分解因式：(1)5431016axaxax(2)2126nnnaabab(3)22(2)9xx(4)42718xx(5)2673xx(6)2282615xxyy(7)27()5()2abab(8)22(67)25xx5．把下列各式分解因式：(1)233axayxyy(2)328421xxx(3)251526xxxyy(4)224202536aabb(5)22414xyxy(6)432224abababab(7)66321xyx(8)2(1)()xxyxyxB组1．把下列各式分解因