高一数学培优宝典-高考知识练习：函数概念及其基本性质（必修1）

1．(2015·课标Ⅱ，5，易)设函数f(x)＝1＋log2（2－x），x＜1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12【答案】C∵log212＞1，∴f(log212)＝2log212－1＝21＋log23＝2×3＝6.∴原式＝1＋log24＋6＝9.2．(2015·湖北，6，中)已知符号函数sgnx＝1，x0，0，x＝0，－1，x0.f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a1)，则()A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝－sgnxC．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]【答案】B①当x0时，∵a＞1，∴xax，∴f(x)－f(ax)0，∴sgn[g(x)]＝1.②当x＝0时，x＝ax，f(x)－f(ax)＝0.∴sgn[g(x)]＝0.③当x0时，∵a＞1，∴axx，∴f(x)－f(ax)0.∴sgn[g(x)]＝－1.∴sgn[g(x)]＝－1，x0，0，x＝0，1，x0.∴sgn[g(x)]＝－sgnx.3．(2015·山东，10，中)设函数f(x)＝3x－1，x1，2x，x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B．[0，1]C.23，＋∞D．[1，＋∞)【答案】C令f(a)＝t.则由f(f(a))＝2f(a)得f(t)＝2t.由f(x)＝3x－1，x1，2x，x≥1可知t≥1.∴f(a)≥1⇒a1，3a－1≥1或a≥1，2a≥1⇒23≤a1或a≥1⇒a≥23.故选C.4．(2015·浙江，7，难)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()A．f(sin2x)＝sinxB．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|【答案】D方法一：∵f(x2＋2x)＝|x＋1|，∴f(x2＋2x)＝（x＋1）2＝x2＋2x＋1.∴存在函数f(x)＝x＋1，对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝|x＋1|.方法二：A，B，C均举出反例不符合函数的概念，而D项，f(t2－1)＝t(t≥0)⇔f(x)＝x＋1，符合题意．5．(2015·湖北，10，难)设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是()A．3B．4C．5D．6【答案】B由题可知：当n＝1时，1≤t2.当n＝2时，2≤t23，即2≤t3满足条件．当n＝3时，3≤t34，即33≤t34满足条件．当n＝4时，4≤t45，即44≤t45满足条件．当n＝5时，5≤t56，即55≤t56，而3356.所以正整数n的最大值为4.6．(2015·浙江，10，易)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．【解析】∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥22－3，当x1时，x2＋1≥1，∴lg(x2＋1)≥0.综上，f(x)min＝22－3.【答案】022－37．(2015·山东，14，中)已知函数f(x)＝ax＋b(a0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．【解析】当0a1时，由已知得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得b＝－2，a＝12，∴a＋b＝－32.当a1时，a－1＋b＝－1，a0＋b＝0，解得b＝－1，∴1a＝0，无解．综上a＋b＝－32.【答案】－321．(2014·江西，2，易)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0，1)B．[0，1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】C要使函数有意义，需满足x2－x0，解得x0或x1，故选C.2．(2013·陕西，1，易)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁RM为()A．[－1，1]B．(－1，1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D由1－x2≥0得－1≤x≤1，故∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2012·江西，3，易)若函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0【答案】B∵f(10)＝lg10＝1，∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，故选B.4．(2014·江西，3，易)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，则a＝()A．1B．2C．3D．－1【答案】A由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故选A.5．(2012·安徽，2，易)下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x【答案】C选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项C，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；选项D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．6．(2014·福建，7，中)已知函数f(x)＝x2＋1，x0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)【答案】D方法一：由x0得，x2＋11，当x≤0时，cosx∈[－1，1]，故f(x)∈[－1，＋∞)，选D.方法二(数形结合法)：作出f(x)的图象如图所示，可排除A，B，C，故D正确．7．(2014·上海，18，中)设f(x)＝（x－a）2，x≤0，x＋1x＋a，x0.若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()A．[－1，2]B．[－1，0]C．[1，2]D．[0，2]【答案】D∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0；当x0时，f(x)＝x＋1x＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.8．(2014·湖北，14，难)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)0，对任意a0，b0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)．例如，当f(x)＝1(x0)时，可得Mf(a，b)＝c＝a＋b2，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)＝________(x0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数2aba＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)【解析】设P(a，f(a))，Q(b，－f(b))，则直线PQ的方程为y－f(a)＝f（a）＋f（b）a－b(x－a)．令y＝0得c＝af（b）＋bf（a）f（a）＋f（b）.(1)令几何平均数ab＝af（b）＋bf（a）f（a）＋f（b）⇒abf(a)＋abf(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝x(x0)；(2)令调和平均数2aba＋b＝af（b）＋bf（a）f（a）＋f（b）⇒ab＋baa＋b＝af（b）＋bf（a）f（a）＋f（b），可取f(x)＝x(x0)．【答案】(1)x(2)x(或填(1)k1x(2)k2x，其中k1，k2为正常数均可)考向1求函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx定义域均为R.(6)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y＝tanx的定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z.(1)(2014·山东，3)f(x)＝1（log2x）2－1的定义域为()A.0，12B．(2，＋∞)C.0，12∪(2，＋∞)D.0，12∪[2，＋∞)(2)(2015·河南郑州一模，13)若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f（2x）x－1的定义域是________．【解析】(1)要使函数有意义，必须（log2x）2－10，①x0.②由①得(log2x)21，即log2x1或log2x－1，解得x2或0x12.故选C.(2)∵0≤2x≤2，∴0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，∴0≤x1，即函数g(x)的定义域是[0，1)．【答案】(1)C(2)[0，1)【点拨】解题(1)的关键是正确利用对数函数的单调性求解不等式log2x1和log2x－1；解题(2)时易误认为0≤x≤2，从而0≤2x≤4，出现0≤x1或1x≤4的错误．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．(1)求定义域时对于解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．(1)(2012·江西，2)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx(2)若典型例题1(2)改为函数f(x2－1)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(2x)的定义域为________．(1)【答案】D函数y＝13x的定义域为{x|x≠0，x∈R}，与函数y＝sinxx的定义域相同，故选D.(2)【解析】∵0≤x≤2，∴－1≤x2－1≤3，从而函数f(x)的定义域为[－1，3]．由－1≤2x≤3，得－12≤x≤32，所以函数f(2x)的定义域为－12，32.【答案】－12，32考向2求函数的解析式函数的解析式(1)函数的表示方法：解析法、列表法、图象法．(2)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式．(3)求函数的解析式时，一定要注意函数的定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明定义域往往导致错误．(1)(2014·浙江，6)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A．c≤3B．3c≤6C．6c≤9D．c9(2)(2013·安徽，14)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.【解析】(1)由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，解得a＝6，b＝11，∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c.由0f(－1)≤3，得0－1＋6－11＋c≤3，即6c≤9，故选C.(2)∵－1≤x≤0，∴0≤