高一数学培优宝典-高考知识练习：集合（必修1）

11．(2015·山东，1，易)已知集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2x4}，则A∩B＝()A．(1，3)B．(1，4)C．(2，3)D．(2，4)【答案】C∵A＝{x|x2－4x＋30}＝{x|(x－1)·(x－3)0}＝{x|1x3}，B＝{x|2x4}，∴A∩B＝{x|2x3}．故选C.2．(2015·课标Ⅱ，1，易)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝()A．{－1，0}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．{0，1，2}【答案】A∵B＝{x|－2＜x＜1}，A＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0}．3．(2015·广东，1，易)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝()A．{1，4}B．{－1，－4}C．{0}D．∅【答案】D因为M＝{－4，－1}，N＝{1，4}，所以M∩N＝∅.4．(2015·浙江，1，易)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q＝()A．[0，1)B．(0，2]C．(1，2)D．[1，2]【答案】C由x2－2x≥0得x≤0或x≥2，∴∁RP＝{x|0x2}．又Q＝{x|1x≤2}，∴(∁RP)∩Q＝{x|1x2}．25．(2015·湖北，9，难)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30【答案】C分类讨论：当x1＝0时，y1可取－1，0，1，y2和x2可取－2，－1，0，1，2.此时x1＋x2的值为－2，－1，0，1，2；y1＋y2的值为－3，－2，－1，0，1，2，3.∴(x1＋x2，y1＋y2)共有5×7＝35(个)．当x1＝1时，y1＝0，x2和y2可取－2，－1，0，1，2，此时x1＋x2的值为－1，0，1，2，3，y1＋y2的值为－2，－1，0，1，2.其中x1＋x2取－1，0，1，2时与上面重复，∴x1＋x2＝3，y1＋y2的值为－2，－1，0，1，2.则(x1＋x2，y1＋y2)共有5×1＝5(个)．当x1＝－1时，y1＝0，同x1＝1，y1＝0时．∴总个数为35＋5＋5＝45.6．(2015·江苏，1，易)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________．【解析】A∪B＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，即A∪B中元素的个数是5.【答案】51．(2014·四川，1，易)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1，0，1，2}B．{－2，－1，0，1}C．{0，1}D．{－1，0}【答案】Ax2－x－2≤0⇒－1≤x≤2，故集合A中的整数为－1，0，1，2.所以A∩B＝{－1，0，1，2}．2．(2014·浙江，1，易)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝()A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【答案】B∵A＝{x∈N|x≥5}＝{x∈N|x≥3}，∴∁UA＝{x∈N|2≤x3}＝{2}，故选B.3．(2011·北京，1，易)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1，1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)【答案】C由P∪M＝P，有M⊆P，∴a2≤1，∴－1≤a≤1，故选C.4．(2013·广东，1，易)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0，2}C．{－2，0}D．{－2，0，2}【答案】D化简两个集合，得M＝{－2，0}，N＝{0，2}，则M∪N＝{－2，0，2}，故选D.5.(2013·浙江，2，易)设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝()3A．(－2，1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1]D．[1，＋∞)【答案】C由一元二次不等式解法知，T＝{x|－4≤x≤1}，由补集的定义知∁RS＝{x|x≤－2}，借助数轴分析法知(∁RS)∪T＝{x|x≤1}，故选C.思路点拨：解答本类题先根据有关知识化简两个集合，然后再借助数轴进行相关运算．6．(2014·山东，2，中)设集合A＝{x||x－1|2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C由|x－1|2，得－2x－12，－1x3，∴A＝{x|－1x3}．由x∈[0，2]，得1≤2x≤4，∴1≤y≤4，∴B＝{y|1≤y≤4}．由集合运算得，A∩B＝{x|1≤x3}，故选C.7．(2013·辽宁，2，中)已知集合A＝{x|0log4x1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()A．(0，1)B．(0，2]C．(1，2)D．(1，2]【答案】DA＝{x|0log4x1}＝{x|log41log4xlog44}＝{x|1x4}，A∩B＝(1，2]，故选D.8．(2013·福建，10，难)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是()A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0x≤10}C．A＝{x|0x1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q【答案】D对于A可构造函数f(x)＝x－1，x∈N*，验证成立；对于B可构造函数f(x)＝－8，x＝－1，2.5x＋2.5，－1x≤3，验证成立；对于C可构造函数f(x)＝tanx－12π，x∈(0，1)，验证成立；选项D是错误的．方法点拨：理解新定义的本质是解决此类题的关键所在．9．(2014·江苏，1，易)已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．【解析】A∩B＝{－2，－1，3，4}∩{－1，2，3}＝{－1，3}．【答案】{－1，3}410．(2014·重庆，11，中)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝________．【解析】∵U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，∴∁UA＝{4，6，7，9，10}．又∵B＝{1，3，5，7，9}，∴(∁UA)∩B＝{7，9}．【答案】{7，9}考向1集合及其关系1．集合中元素的特性及其应用(1)集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素互异性的应用：①利用集合元素的互异性找到解题的切入点；②在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．2．集合间的关系名称自然语言描述符号表示Venn图表示子集如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素a∈B，且a∉A，则称集合A是集合B的真子集AB(或BA)相等集合A中的任一元素都是集合B中的元素，集合B中的任一元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A与集合B相等A＝B空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆A，∅B(B≠∅)．5(1)(2013·课标Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|－5x5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B(2)(2014·福建，15)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．【解析】(1)方法一：A＝{x|x2－2x0}＝{x|x2，或x0}，在数轴上画出集合A，B分别表示的范围，如图所示．由图可知，A∪B＝R.方法二：取实数－1，可得－1∈A且－1∈B，排除选项A；取实数0，可知0∉A，但0∈B，排除选项C；取实数3，可知3∈A，但3∉B，排除选项D.只有选项B正确．(2)根据题意可分四种情况：a．若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；b．若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；c．若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；d．若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．【答案】(1)B(2)6【点拨】解题(1)的关键是弄清集合的有关概念；解题(2)时易出现分类不严谨、审题不认真而导致找不到解题突破口的错误．1.与集合中元素有关问题的解法(1)确定集合的元素是什么，即是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．有关集合关系判断的解答策略(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口．6(2)对于解集关系问题，往往利用数轴进行分析．(3)求解含参数的方程或不等式时，要对参数进行分类讨论．在用数轴表示集合间的关系时，其端点能否取到一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，两个集合是否能同时取到端点往往决定集合之间的关系．(2013·山东，2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9【答案】C①当x＝0时，y＝0，1，2，x－y＝0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0，1，2，x－y＝1，0，－1；③当x＝2时，y＝0，1，2，x－y＝2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2.共5个．考向2集合的基本运算1．集合的运算及性质名称交集并集补集符号A∩BA∪B∁UA数学语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁UA＝{x|x∈U且x∉A}图形运算性质A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩∅＝∅B⊆A∪B，A⊆A∪B，A∪∅＝AA∪(∁UA)＝UA∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A空集(∅)的特殊性：在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论．2．集合间运算性质的重要结论(1)A∪B＝A⇔B⊆A.(2)A∩B＝A⇔A⊆B.(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B.(4)狄摩根定律：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；7∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(1)(2014·广东，1)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝()A．{0，1}B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2}D．{－1，0，1}(2)(2014·辽宁，1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}【解析】(1)利用Venn图求并集．根据题意画出Venn图，如图所示，故M∪N＝{－1，0，1，2}．(2)利用数轴分析求解．∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．在数轴上表示，如图所示．∴∁U(A∪B)＝{x|0x1}．【答案】(1)C(2)D【点拨】解题(1)的关键是弄清并集的概念；解题(2)易忽视“＝”成立与否而误选C.解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用