高一数学培优宝典-高考知识练习：基本初等函数（必修1）

(2015·江苏，7，易)不等式2x2－x4的解集为________．【解析】2x2－x4，即2x2－x22，∴x2－x2，即x2－x－20，∴(x－2)(x＋1)0，解得－1x2，所以不等式的解集为{x|－1＜x2}．【答案】{x|－1x2}1．(2013·北京，5，易)函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1【答案】Df(x)向右平移一个单位之后得到的函数应该是g(x)＝e－x，于是f(x)相当于g(x)向左平移一个单位的结果，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，选D.思路点拨：把握函数f(x)的图象与函数y＝ex的图象的关系是解题的关键．2．(2011·山东，3，易)若点(a，9)在函数y＝3x的图象上，则tanaπ6的值为()A．0B.33C．1D.3【答案】D由题意有3a＝9，则a＝2，所以tanaπ6＝tanπ3＝3.3．(2012·山东，3，易)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A函数f(x)＝ax在R上是减函数，等价于0＜a＜1(符合a＞0且a≠1)；函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数，等价于2－a＞0，又a＞0且a≠1，故0＜a＜1或1＜a＜2.故选A.4．(2012·浙江，9，难)设a＞0，b＞0.()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b【答案】A设f(x)＝2x＋2x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由2a＋2a＝2b＋3b及b＞0，得2a＋2a＞2b＋2b，即f(a)＞f(b)，故有a＞b，即A正确，B错误．对于命题C，D，令a＝2，则2b－3b＝0，即b为g(x)＝2x－3x的零点．而g(0)＝1＞0，g(2)＝－2＜0，g(4)＝4＞0，故0＜b＜2或b＞2，即0＜b＜a或b＞a，即命题C，D都是错误的，故选A.考向指数函数的图象与性质1．指数函数的图象与性质0a1a1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)当x＝0时，y＝1，即过定点(0，1)当x0时，0y1；当x0时，y1当x0时，y1；当x0时，0y1在R上是减函数在R上是增函数2.指数函数图象的特点(1)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．(2)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势．(3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0＜c＜d＜1＜a＜b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．当指数函数的底数大于1时，底数越大，图象上升越快；当底数大于0且小于1时，底数越小，图象下降越快．(1)(2012·四川，5)函数y＝ax－1a(a0，a≠1)的图象可能是()(2)(2015·山东聊城模拟，12)若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________．(3)(2012·山东，15)若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．【思路导引】解题(1)的方法是利用分类讨论，即分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，然后逐项排除；解题(2)的关键是正确画出y＝|3x－1|的图象，然后数形结合求解；解题(3)的关键是结合a的不同取值情况分类讨论函数的最值．【解析】(1)函数y＝ax－1a由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜1a＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C项错误．(2)曲线y＝|3x－1|与直线y＝k的图象如图所示，由图象可知，如果y＝|3x－1|与直线y＝k有两个公共点，则实数k应满足0＜k＜1.(3)当a1时，有a2＝4，a－1＝m，∴a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x在[0，＋∞)上为减函数，不合题意；当0a1时，有a－1＝4，a2＝m，即a＝14，m＝116，此时g(x)＝34x在[0，＋∞)上为增函数，符合题意，故a＝14.【答案】(1)D(2)(0，1)(3)14与指数函数有关问题的解题思路(1)求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先，要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．(2014·山东济宁三模，10)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b≥0，c＞0C．2－a＜2cD．2a＋2c＜2【答案】D作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图．∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故选D.1．(2015·黑龙江哈尔滨模拟，5)函数f(x)＝e2x＋1ex的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【答案】Df(x)＝e2x＋1ex＝ex＋1ex，∵f(－x)＝e－x＋1e－x＝ex＋1ex＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于y轴对称．2．(2015·山东日照一模，5)若x∈(2，4)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞a＞c【答案】B∵b＝(2x)2＝22x，∴要比较a，b，c的大小，只要比较当x∈(2，4)时x2，2x，2x的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x2＞2x＞2x，则a＞c＞b.3．(2015·河北邯郸质检，6)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是()【答案】B由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0，0＜a＜1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k－1，所以－1k0.函数y＝ax＋k的图象可以看成把y＝ax的图象向右平移－k个单位得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B.4．(2014·山东聊城联考，10)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝f（x），f（x）≤K，K，f（x）＞K，给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为0B．K的最小值为0C．K的最大值为1D．K的最小值为1【答案】D根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.5．(2014·吉林长春模拟，12)已知直线y＝mx与函数f(x)＝2－13x，x≤0，12x2＋1，x＞0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是()A．(3，4)B．(2，＋∞)C．(2，5)D．(3，22)【答案】B(数形结合法)作出函数f(x)＝2－13x，x≤0，12x2＋1，x＞0的图象，如图所示．直线y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m＞0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－13x(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y＝mx与函数y＝12x2＋1(x＞0)的图象有两个公共点，即方程mx＝12x2＋1在x＞0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2＞0，解得m＞2.故所求实数m的取值范围是(2，＋∞)．故选B.6．(2015·江苏连云港一模，4)当x＞0时，函数y＝(a－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．【解析】由题意知，a－8＞1，解得a＞9.【答案】(9，＋∞)7．(2015·河南信阳质检，15)若不等式(m2－m)2x－12x＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．【解析】(m2－m)2x－12x＜1可变形为m2－m＜12x＋12x2.设t＝12x，则原条件等价于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立．显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.【答案】(－2，3)8．(2015·皖南八校联考，15)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a＞0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0＜a＜1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a＞1时，函数f(|x|)的最大值是0.【解析】∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a＞1时，f(x)在R上为增函数，当0＜a＜1时，f(x)在R上为减函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③真；当0＜a＜1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④真；当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.【答案】①③④1．(2015·四川，8，易)设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B由3a3b31，得a＞b1，∴log3a＞log3b＞0.由换底公式得，1loga3＞1logb3＞0，即loga3＜logb3.而由loga3logb3不能推出ab1，例如，当a1，b1时，满足loga3logb3，但此时3b＞3＞3a.故“3a3b3”是“loga3logb3”的充分不必要条件．2．(2015·浙江，12，中)若a＝log43，则2a＋2－a＝________．【解析】∵a＝log43＝12log23，∴2a＋2－a＝212log23＋2－12log23＝(2log23)12＋(2log23)－12＝312＋3－12＝3＋13＝433.【答案】4333．(2015·福建，14，中)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3