高一数学培优宝典-高考知识练习：三角恒等变换与解三角形（必修45）

(2015·课标Ⅰ，2，易)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12【答案】D原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.1．(2013·重庆，9，易)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1【答案】C4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin（120°－40°）－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3，故选C.2．(2012·重庆，5，易)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3【答案】A由根与系数关系知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3，故选A.3．(2012·四川，4，易)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝()A.31010B.1010C.510D.515【答案】B方法一：由题意可得sin∠AED＝cos∠AED＝22，sin∠AEC＝112＋22＝55，cos∠AEC＝212＋22＝255，∴sin∠CED＝sin(∠AED－∠AEC)＝22×255－22×55＝1010.方法二：在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝2，EC＝5，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝ED2＋EC2－CD22ED·EC＝2＋5－12×2×5＝31010.∴sin∠CED＝1010，故选B.4．(2013·四川，13，易)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．【解析】方法一：sin2α＝－sinα⇒2sinαcosα＝－sinα，∵α∈π2，π，∴sinα≠0，∴cosα＝－12，则sinα＝32，∴tanα＝－3，而tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－3＝3.方法二：同方法一，得cosα＝－12，又α∈π2，π，则α＝2π3.∴tan2α＝tan4π3＝3.【答案】35．(2013·课标Ⅰ，15，中)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．【解析】由辅助角公式得f(x)＝555sinx－255cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝255，cosφ＝55，由x＝θ时，f(x)取得最大值得sin(θ－φ)＝1，∴θ－φ＝2kπ＋π2，k∈Z，即θ＝φ＋π2＋2kπ，∴cosθ＝cosφ＋π2＝－sinφ＝－255.【答案】－2556．(2013·课标Ⅱ，15，中)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________．【解析】tanθ＝tanθ＋π4－π4＝12－11＋12＝－13，∴sinθ＝－13cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1得109cos2θ＝1，∴cos2θ＝910，易知cosθ0，∴cosθ＝－31010，sinθ＝1010，故sinθ＋cosθ＝－105.【答案】－1057．(2014·江西，16，12分，易)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.(1)若a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．解：(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝22(sinx＋cosx)－2sinx＝22cosx－22sinx＝sinπ4－x，因为x∈[0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4.故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由fπ2＝0，f（π）＝1得cosθ（1－2asinθ）＝0，2asin2θ－sinθ－a＝1，由θ∈－π2，π2知cosθ≠0，解得a＝－1，θ＝－π6.考向三角函数式的化简与求值1．两角和与差的三角函数公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(Sα＋β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(Cα＋β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(Tα＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.(Tα－β)2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)tan2α＝2tanα1－tan2α.(T2α)3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．(2)升幂公式1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2.(3)降幂公式sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2.(4)其他常用变形sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α；cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α；1±sinα＝sinα2±cosα22；tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.5．角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝π4＋α－π4＝α－π3＋π3.(2)互余与互补关系例如，π4＋α＋3π4－α＝π，π3＋α＋π6－α＝π2.(3)非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.(1)(2013·浙江，6)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－43(2)(2014·课标Ⅰ，8)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．3α＋β＝π2C．2α－β＝π2D．2α＋β＝π2(3)(2014·广东，16，12分)已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.①求A的值；②若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.【解析】(1)(sinα＋2cosα)2＝52，展开得3cos2α＋4sinα·cosα＝32，再由二倍角公式得32cos2α＋2sin2α＝0，故tan2α＝sin2αcos2α＝－322＝－34，故选C.(2)由tanα＝1＋sinβcosβ得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α.∵α∈0，π2，β∈0，π2，∴α－β∈－π2，π2，π2－α∈0，π2，∴由sin(α－β)＝sinπ2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2，故选C.(3)①f5π12＝Asin5π12＋π4＝Asin2π3＝32A＝32，∴A＝3.②f(θ)＋f(－θ)＝3sinθ＋π4＋3sin－θ＋π4＝3sinθ·cosπ4＋cosθ·sinπ4＋3sin（－θ）·cosπ4＋cos（－θ）·sinπ4＝23cosθ·sinπ4＝6cosθ＝32.∴cosθ＝64，又θ∈0，π2，∴sinθ＝104.∴f3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝304.【点拨】解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是①由f5π12的值直接求出A的值；②化简f(θ)＋f(－θ)＝32可得cosθ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sinθ，再化简f3π4－θ可得答案．1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．(2014·江苏，15，14分)已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．解：(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.1．(2015·河南许昌一模，5)已知sin2α＝13，则cos2α－π4等于()A.13B．－13C.23D．－23【答案】Ccos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝1＋sin2α2＝23.2．(2015·安徽阜阳期末，7)化简cos40°cos25°1－sin40°＝()A．1B.3C.2D．2【答案】C原式＝cos220°－sin220°cos25°sin220°－2sin20°cos20°＋cos220°＝cos220°－sin220°cos25°（cos20°－sin20°）＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝2.3．(2014·江西新余三模，6)若α∈π4，π，且3cos2α＝4sinπ4－α，则sin2α的值为()A.79B．－19C．－79D.19【答案】B由已知得3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)，∵α∈π4，π，∴cosα－sinα≠0，∴3(cosα＋sinα)＝22，∴cosα＋sinα＝223，1＋sin2α＝89，∴sin2α＝－19.4．(2015·河