高一数学培优宝典-高考知识练习：三角函数（必修4）

(2015·重庆，9，中)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()A．1B．2C．3D．4【答案】C原式＝cosα－π2－π5sinα－π5＝cos－π2＋α＋π5sinα－π5＝cosπ2－α＋π5sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝tanα＋tanπ5tanα－tanπ5＝3tanπ5tanπ5＝3.1．(2014·大纲全国，3，易)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab【答案】C∵b＝cos55°＝sin35°sin33°＝a，∴ba.又∵c＝tan35°＝sin35°cos35°sin35°＝cos55°＝b，∴cb.∴cba.故选C.2．(2012·江西，4，易)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝()A.15B.14C.13D.12【答案】D(先切化弦，再求sin2θ)因为tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝2sin2θ＝4，所以sin2θ＝12.3．(2012·山东，7，易)若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.34【答案】D∵θ∈π4，π2，∴2θ∈π2，π，sinθ0，∴cos2θ≤0，∴cos2θ＝－1－sin22θ＝－1－3782＝－18.又cos2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝1－cos2θ2＝1－－182＝916.∴sinθ＝34，故选D.4．(2011·课标全国，5，易)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.23D.34【答案】B方法一：设角θ的终边上任一点为P(k，2k)，则r＝k2＋（2k）2＝5|k|.当k0时，r＝5k，∴sinθ＝2k5k＝255，cosθ＝k5k＝55.∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝552－2552＝－35.当k0时，r＝－5k，∴sinθ＝－2k5k＝－255，cosθ＝－k5k＝－55.∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－552－－2552＝－35.综上可得，cos2θ＝－35，故选B.方法二：因为该直线的斜率是k＝2＝tanθ，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.5．(2011·大纲全国，14，易)已知α∈π2，π，sinα＝55，则tan2α＝________．【解析】∵α∈π2，π，sinα＝55，∴cosα＝－255，∴tanα＝－12，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43.【答案】－43考向1三角函数的定义及应用1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．角度与弧度的互化(1)360°＝2πrad；(2)180°＝πrad；(3)1°＝π180rad；(4)1rad＝180π°≈57.30°.3．弧长及扇形面积公式(1)弧长公式：l＝|α|r；(2)扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．4．任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r＝x2＋y2.三角函数定义定义域sinαyrRcosαxrRtanαyxαα≠π2＋kπ，k∈Z5.三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．6．三角函数线角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形(1)(2015·广东佛山质检，11)若角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝24m，则cosθ的值为________．(2)(2012·山东，16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________．【解析】(1)点P(－3，m)是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sinθ＝m3＋m2.又sinθ＝24m，∴m3＋m2＝24m.又m≠0，∴m2＝5，∴cosθ＝－33＋m2＝－64.(2)如图，由题意知BP︵＝OB＝2.∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－π2，∴DA＝APcos2－π2＝sin2，DP＝APsin2－π2＝－cos2.∴OC＝2－sin2，PC＝1－cos2.∴OP→＝(2－sin2，1－cos2)．【答案】(1)－64(2)(2－sin2，1－cos2)【点拨】解题(1)的关键是正确理解三角函数的定义；解题(2)的关键是确定BP︵的长度，以及通过P点、圆心与x轴构造直角三角形进行求解．三角函数定义的应用类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值，先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值，先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(3)判断三角函数值的符号问题，先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．(2015·山东临沂质检，12)已知角θ的终边经过点P(－4cosα，3cosα)，α∈απα2π，α≠3π2，则sinθ＋cosθ＝________．【解析】当πα3π2时，cosα0，所以γ＝－5cosα，故sinθ＝－35，cosθ＝45，则sinθ＋cosθ＝15；当3π2α2π时，cosα0，所以γ＝5cosα，故sinθ＝35，cosθ＝－45，则sinθ＋cosθ＝－15.【答案】±15考向2同角三角函数基本关系式及应用同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍．(1)(2013·大纲全国，2)已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C.513D.1213(2)(2012·辽宁，7)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1(3)(2015·贵州贵阳模拟，5)已知sinαcosα＝18，且5π4α3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34【解析】(1)因为α是第二象限角，所以cosα0.由同角函数关系式知cosα＝－1－sin2α＝－1213，故选A.(2)方法一：∵sinα－cosα＝2，∴(sinα－cosα)2＝2＝2(sin2α＋cos2α)．即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝0.等式两边同时除以cos2α得，tan2α＋2tanα＋1＝0，即tanα＝－1.方法二：∵sinα－cosα＝2，∴(sinα－cosα)2＝2，即1－2sinαcosα＝2.∴sin2α＝－1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝－1.(3)∵5π4α3π2，∴cosα0，sinα0且|cosα||sinα|，∴cosα－sinα0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.【答案】(1)A(2)A(3)B【点拨】解题(1)时需注意余弦值的符号；解题(2)时注意平方关系和商数关系的交替使用；解题(3)的关键是等式(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.但要特别注意对sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα符号的关注．同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)弦切互化法：主要利用公式tanθ＝sinθcosθ化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ.(2015·福建泉州质检，11)已知－π2x0，sinx＋cosx＝15，则sinx－cosx＝________．【解析】将等式sinx＋cosx＝15两边平方，得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，即2sinxcosx＝－2425，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.又－π2x0，∴sinx0，cosx0，∵sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.【答案】－75考向3诱导公式及应用1．诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα2.诱导公式的记忆规律(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．(2)“奇”“偶”指的是诱导公式k·π2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．(3)“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．(1)(2013·广东，4)已知sin5π2＋α＝15，那么cosα等于()A．－25B．－15C.15D.25(2)(2015·黑龙江哈师大附中模拟，6)设tan(π＋α)＝2，则sin（α－π）＋cos（π－α）sin（π＋α）－cos（π＋α）等于()A．3B.13C．1D．－1(3)(2015·河南安阳质检，14)已知cosπ6－α＝23，则sinα－2π3＝________．【解析】(1)∵sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα，∴cosα＝15.(2)由tan(π＋α)＝2，得tanα＝2，故sin（α－π）＋cos（π－α）sin（π＋α）－cos（π＋α）＝－sinα－cosα－sinα－（－cosα）＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3.(3)∵π6－α＋α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－π6－α，∴sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝－cosπ6－α＝－23.【答案】(1)C(2)A(3)－231.利用诱导公式求值的原则及步骤(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π4之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：2．利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．本例(3)条件不变，则cos5π6＋α·sinα＋π3＝________．【解析】∵π6－α＋5π6＋α＝π，∴5π6＋α＝π－π6－α，∴cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cos