高一数学培优宝典-高考知识练习：直线与圆的方程（必修2）

1．(2015·广东，5，易)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0【答案】A由题意，可设切线方程为2x＋y＋b＝0，则|b|5＝5，解得b＝±5，故选A.2．(2015·山东，9，中)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34【答案】D由题知，反射线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在的直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，∴|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－43或k＝－34.故选D.1．(2012·浙江，3，易)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A由l1∥l2，得－a2＝－1a＋1，解得a＝1或a＝－2，代入检验符合，即“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选A.2．(2013·课标Ⅱ，12，难)已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0，1)B.1－22，12C.1－22，13D.13，12【答案】B①当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时(如图1)，由y＝ax＋b，x＋y＝1得yE＝a＋ba＋1.又易知xD＝－ba，∴|BD|＝1＋ba，由S△DBE＝12×a＋ba×a＋ba＋1＝12得b＝11＋1a＋1∈0，12.图1②当直线y＝ax＋b与AC，BC相交时(如图2)，由S△FCG＝12(xG－xF)·|CM|＝12得b＝1－221－a2∈1－22，1(0＜a＜1)．图2∵对于任意的a＞0恒成立，∴b∈0，12∩1－22，1，即b∈1－22，12，故选B.方法点拨：本题考查直角坐标系下直线方程的应用，利用数形结合，函数与不等式，分类讨论思想求解，注意考虑问题角度的全面性．3．(2014·四川，14，中)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．【解析】易得A(0，0)，B(1，3)．设P(x，y)，则x＋my＝0，mx－y－m＋3＝0，消去m，得x2＋y2－x－3y＝0，所以点P在以AB为直径的圆上，PA⊥PB，|PA|·|PB|≤|AB|22＝5.【答案】54．(2011·安徽，15，难)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．【解析】若x，y为整数，则x＋y也为整数，故直线x＋y＝2既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．直线y＝2x－2过整点(1，0)，故②错误．若直线l经过无穷多个整点，则一定过两个不同的整点．反之，若直线l经过两个不同的整点M(m1，n1)，N(m2，n2)，其中m1，m2，n1，n2均为整数．当m1＝m2或n1＝n2时，直线l的方程为x＝m1或y＝n1，显然过无穷多个整点．当m1≠m2且n1≠n2时，直线l的方程为y－n1＝n1－n2m1－m2(x－m1)，则直线l过点((k＋1)m1－km2，(k＋1)n1－kn2)，其中k∈Z.这些点均为整点且有无穷多个，即直线l总过无穷多个整点，故③正确．当x，y为整数时，y－x还是整数，故直线y＝x＋12不经过任何整点，即当k，b为有理数时，并不能保证直线l：y＝kx＋b过无穷多个整点，故④错误．直线y＝3x－3恰经过一个整点(1，0)，故⑤正确．【答案】①③⑤考向1直线及其方程1．表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．②范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.(2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2．直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线均适用(1)(2015·河南开封调研，6)设A(－1，2)，B(3，1)，若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是()A．(－∞，－2)∪13，＋∞B.－∞，13∪(2，＋∞)C.－2，13D.13，2(2)(2015·江西南昌质检，18，12分)若点P是函数f(x)＝ex－e－x－3x图象上任意一点．①设在点P处切线的倾斜角为α，求α的取值范围；②求在点P(ln2，f(ln2))处的切线方程．【解析】(1)如图所示，直线y＝kx过定点O(0，0)，kOA＝－2，kOB＝13.若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则直线OA逆时针旋转(斜率增大)到OB都是满足条件的直线．数形结合得k∈－2，13.故选C.(2)①由导数的几何意义可知，函数y＝f(x)＝ex－e－x－3x图象上任意一点P处切线的斜率等于该点的导函数值，而y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，即tanα≥－1.因为α∈[0，π)，所以倾斜角α的范围为0，π2∪34π，π.②由①知y′＝ex＋e－x－3，所以在点P(ln2，f(ln2))处的切线斜率为k＝eln2＋e－ln2－3＝－12.又f(ln2)＝eln2－e－ln2－3ln2＝32－3ln2＝32(1－2ln2)，由点斜式得在点P处的切线方程为y－32(1－2ln2)＝－12(x－ln2)，即x＋2y－3＋5ln2＝0.【点拨】题(1)为斜率范围的求解，求边界的斜率是关键，注意倾斜角为90°时，直线无斜率；题(2)求直线倾斜角的取值范围时，一定要注意正切函数y＝tanx在x∈[0，π)上的图象，借助正切函数的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的；在求直线方程时，应根据条件选择适当的直线方程形式，并注意各种形式的适用条件．1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)来求斜率．(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tanα(α≠90°)来求斜率．(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－AB.3．求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在．注意检验当斜率不存在时是否符合题意．(1)(2014·江苏苏州调研，6)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.(2)(2014·河北沧州期末，18，12分)根据所给条件求直线的方程：①直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；②直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；③直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.(1)【解析】如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB0，kPA0，故k0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k0时，α为锐角．又kPA＝－2－（－1）1－0＝－1，kPB＝－1－10－2＝1，故k∈[－1，1]．又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k0时，3π4≤απ.故倾斜角α的取值范围为0，π4∪3π4，π.【答案】0，π4∪3π4，π(2)解：①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)，k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.②由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.③当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.易错点拨：题(1)在已知斜率的取值范围，求倾斜角的范围时，误认为tanα在[0，π)上为增函数，而得到α∈π4，3π4的错误结果．考向2两直线的位置关系1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，B1C2－B2C1≠0或A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．2．距离距离类型公式点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x，y的系数化成分别相等的．(1)