19版重庆市第一中学高三10月月考-文科数学试题解析版

2019届重庆市第一中学高三10月月考数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．已知集合{}，{}，则A．{}B．{}C．{}D．2．函数的最小正周期为A．B．C．D．3．设，则“”是“函数在定义域上为增函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知实数，则下列不等式中成立的是A．()()B．C．D．5．已知，则的值为A．B．C．D．6．存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．7．已知数列{}满足：则A．B．C．D．8．在等差数列{}中，为前项和，，则A．B．C．D．9．已知函数是定义在上的奇函数，若且为偶函数，则A．B．1C．6D．410．已知各项均为正数的数列{}的前项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．11．函数，关于的方程有4个不相等实根，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题12．设向量⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则实数__________.13．曲线在点(，)处的切线的斜率为，则________．14．点是圆上两个动点，⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑为线段的中点，则⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的值为__________.15．某小商品生产厂家计划每天生产型、型、型三种小商品共100个，生产一个型小商品需5分钟，生产一个型小商品需7分钟，生产一个型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个型小商品可获利润8元，生产一个型小商品可获利润9元，生产一个型小商品可获利润6元．该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元.三、解答题16．已知数列{}为等比数列，，是和的等差中项.（1）求数列{}的通项公式；（2）设，求数列{}的前项和.17．的内角所对边分别为，已知的面积为√，√，√，且.此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（1）求边；（2）如图，延长至点，使√，连接，点为线段中点，求。18．如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，.（1）求证：平面；（2）若，且，求三棱锥的体积.19．如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若，求△面积的最小值.20．已知函数.（1）求函数的极值；（2）当时，求证：.21．在直角坐标系中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为√.（1）写出曲线与直线的直角坐标方程；（2）设为曲线上一动点，求点到直线距离的最小值．22．已知函数（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：时，。2019届重庆市第一中学高三10月月考数学（文）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】首先求得结合A，然后进行交集运算即可.【详解】求解分式不等式可得：，则{}，结合交集的定义可得{}.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．C【解析】【分析】首先化简函数的解析式，然后利用最小正周期公式求解函数的最小正周期即可.【详解】由题意可得：√()，据此可知函数的最小正周期为：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数最小正周期的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．A【解析】【分析】首先求解实数a的取值范围，然后确定充分性和必要性即可.【详解】函数在定义域上为增函数，则，由于“”是“”的充分不必要条件，故“”是“函数在定义域上为增函数”的充分不必要条件.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，充分性与必要性的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A【解析】【分析】由题意分别考查题中的不等式是否成立即可.【详解】指数函数()在上单调递减，由于，故()()，选项A中的不等式成立；幂函数在上单调递减，由于，故，选项B中的不等式不成立；当时，，，选项C中的不等式不成立；当时，，，选项D中的不等式不成立.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质，指数函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B【解析】【分析】由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解三角函数值即可.【详解】由题意可得：，则，().本题选择B选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，两角和的正切公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D【解析】【分析】题中命题的否命题为假命题，据此求解a的取值范围即可.【详解】由题意可知，命题：，为假命题，则：，求解二次不等式可得实数的取值范围是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C【解析】【分析】由题意利用递推关系裂项求解的值即可.【详解】由题意可得：，则：()()().本题选择C选项.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，累加法求通项等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A【解析】由，.故选：A.9．D【解析】【分析】由题意首先确定函数的周期性，然后结合函数的性质求解函数值即可.【详解】我们有如下结论：若函数是奇函数，且是偶函数，则函数是周期函数，它的一个周期.证明如下：函数为奇函数，则，是偶函数，则，据此可得：.据此即可证得上述结论.据此结论可知题中所给函数的周期为，则，，，据此可得：4.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C【解析】【分析】由得到an=n，任意的，恒成立等价于，利用作差法求出的最小值即可.【详解】当n=1时，，又，∴∵an+12=2Sn+n+1，∴当n≥时，an2=2Sn﹣1+n，两式相减可得：an+12﹣an2=2an+1，∴an+12=（an+1）2，∵数列{an}是各项均为正数的数列，∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，显然n=1时，适合上式∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．∴an=1+（n﹣1）=n．任意的，恒成立，即恒成立记()()，＞，∴为单调增数列，即的最小值为∴，即故选：C【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.11．D【解析】【分析】首先分析函数的性质，然后换元后分离参数求解实数的取值范围即可.【详解】由函数的解析式可得函数为偶函数，当时，，，由导函数研究函数的单调性可得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且当时，，函数的最大值为，据此绘制函数的图象如图所示，令，原问题等价于关于的方程在区间()上存在唯一的实数根；整理可得：，令()，则，由二次函数的性质易知在定义域内恒成立，则函数在定义域内单调递减，且，()，据此可得：实数的取值范围是.本题选择D选项.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12．【解析】【分析】由题意得到关于x的方程，解方程即可求得x的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得：.【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的化能力和计算求解能力.13．【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。详解：则所以故答案为-3.点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。14．3【解析】【分析】首先设出点A,B的坐标，然后结合平面向量的坐标运算求解数量积即可.【详解】由题意可知，为等边三角形，设，，其中，则：⃑⃑⃑⃑⃑⃑，⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由平面向量数量积的坐标运算法则可得：⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．850【解析】【分析】由题意将原问题转化为线性规划的问题，然后利用线性规划的方法求解最值即可.【详解】依题意，每天生产的玩具A型商品x个、B商品y个、C商品的个数等于：100−x−y，所以每天的利润T=8x+9y+6(100−x−y)=2x+3y+600.约束条件为：{，整理得{.目标函数为T=2x+3y+600.如图所示,做出可行域.初始直线l0:2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，T有最大值。由{得{.最优解为A(50,50)，此时Tmax=850(元).即最大日利润是850元.【点睛】本题主要考查线性规划的实际应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意首先求得数列的公比，然后求解数列的通项公式即可；（2）首先求得数列{}的通项公式，然后错位相减求解数列{}的前项和即可.【详解】（1）设数列{}的公比为，因为，所以，．因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以（）.（2）因为，所以．所以．则【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．（1）；（2）√.【解析】【分析】（1）由的面积可知，结合余弦定理可得，从而得到；（2）由为中点，可得，结合面积公式即可得到结果.【详解】（1）√…①由余弦定理，…②联立①②可得{或{又三角形中，，.（2）如图，为中点，，故,即√【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1)由题意结合线面垂直的判断定理证明题中的结论即可；（2）结合棱锥的特征转化顶点，利用求解三棱锥的体积即可.【详解】（1)∵四边形是菱形，∴,∵,∴平面，又平面，∴．∵,是的中点，∴，∵，∴平面.（2）菱形的边长为，又是等边三角形，则.由（1）知，，又是的中点，，又是等边三角形，则.在中，√√√，√.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．19．(1).(2)32.【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出.（Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，则，∴，所以抛物线的方程是.（Ⅱ）设切线，即，切线与轴交点为()，圆心到切线的距离为√，化简得设两切线斜率分别为，则|()()|√=[]，当且仅当时取等号.所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.20．（1）时取得极小值，无极大值；（2）见解析.【解析