19版重庆市西南大学附属中学校高三上学期第三次月考-理科数学试题解析版

2019届重庆市西南大学附属中学校高三上学期第三次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．复数的共轭复数̅在复平面中对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线的焦点坐标为A．，B．，C．，D．，3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，，，两点，若，则A．5B．6C．8D．104．抛物线的焦点到双曲线其中一条渐近线的距离为A．√B．1C．√D．25．若实数，满足约束条件{，则的最大值是A．3B．7C．5D．16．在等差数列中，，，则A．4B．5C．6D．77．偶函数在，上是增函数，且，则满足的实数的取值范围是A．，B．，C．，D．，8．若，则的取值范围为A．，B．，C．，D．，9．已知函数(，e是自然对数的底数)在处取得极小值，则的极大值是A．B．C．D．10．如图，在直角梯形中，，为边上一点，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，为的中点，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗A．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗11．过双曲线，的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若线段的中点为，为坐标原点，则与的大小关系是A．B．C．D．无法确定12．已知函数{，，，函数零点的个数为A．3B．4C．1D．2二、填空题13．，，，，若，则________________．14．已知，，则__________．15．已知点是抛物线：的对称轴与准线的交点，点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为________________．16．已知函数在，上没有最小值，则的取值范围是________________．三、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号(1)求角；(2)若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求的最小值．18．已知圆：．(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程及的最小值．19．设数列的前项和为，且，，成等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)若，当时，求．20．已知椭圆右焦点，，离心率为√，过作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．21．已知函数；(1)当时，，使成立，求的取值范围；(2)令，，，证明：对，，，恒有．22．已知直线的参数方程为{√（为参数），在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值.23．已知函数．(1)若的最小值为4，求的值；(2)当，时，恒成立，求的取值范围2019届重庆市西南大学附属中学校高三上学期第三次月考数学（理）试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】由已知z直接求̅，求得坐标得答案．【详解】∵z=1+2i，∴=1﹣2i．∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，-2），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了复数的几何意义，是基础题．2．B【解析】【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【详解】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：B．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3．C【解析】试题分析：根据抛物线中焦点弦长公式，可得，故选择C．考点：抛物线焦点弦问题．4．C【解析】【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【详解】抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣=1的一条渐近线为y=√x，则焦点到渐近线的距离为d=√√=√．故选：C．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键．5．B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件{对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由{，解得A（4，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×4﹣1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6．C【解析】【分析】利用a1+a9=a2+a8，将与作和可直接得.【详解】在等差数列{an}中，由与作和得：=（）+-（）∴a1+a9=a2+a8，∴==6．∴a5=6．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．7．A【解析】【分析】由偶函数在上是增函数，可得函数在上是减函数，结合，原不等式转化为，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，由且满足，等价于，，可得，实数的取值范围是,故选A.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．D【解析】【分析】已知,利用基本不等式求解，等号成立的条件是x=2y=-1．【详解】由均值不等式，得√√（当且仅当x=2y=-1时等号成立）所以.故选D.【点睛】此题考查了由条件等式求取值范围问题，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，体现了消元的数学思想方法．是中档题．9．A【解析】【分析】求出原函数的导函数f′（x），由f′（0）=0解得m=0．可得函数解析式，由导函数大于0和小于0得到原函数的单调区间，进而求得极大值.【详解】由题意知，f′（x）=[x2+（2﹣m）x﹣2m]ex，由f′（0）=﹣2m=0，解得m=0．此时f（x）=x2ex，f′（x）=（x2+2x）ex，令f′（x）=0，解得x=0或x=-2，且函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调递减区间是（﹣2，0）所以函数f（x）在x=-2处取得极大值，且有f（-2）=故选A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题．10．B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选：B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A【解析】【分析】将点P置于第一象限．设F1是双曲线的右焦点，连接PF1．由M、O分别为FP、FF1的中点，知|MO|=|PF1|．由双曲线定义，知|PF|﹣|PF1|=2a，|FT|=√=b．由此知|MO|﹣|MT|=（|PF1|﹣|PF|）+|FT|=b﹣a．【详解】将点P置于第一象限．设F1是双曲线的右焦点，连接PF1∵M、O分别为FP、FF1的中点，∴|MO|=|PF1|．又由双曲线定义得，|PF|﹣|PF1|=2a，|FT|=√=b．故|MO|﹣|MT|=|PF1|﹣|MF|+|FT|=（|PF1|﹣|PF|）+|FT|=b﹣a．故选：A．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．12．C【解析】【分析】利用换元法：令,将复合函数拆解成与，利用解方程和函数图像求得.【详解】令，则{，，（1）当时，ln(t+1)=-1，即-1当时，ln(x+1)=-1有一个解.因为{，，在x0时的图象大致如图：x0时=-1，无解.（2）当时，f（t）=,即-1,当时，故无解.当时，0f（x）,所以-1无解.综上，只有一个解.故选C.【点睛】本题考查复合函数零点问题，运用数形结合思想解决零点问题是常用方法.13．√【解析】【分析】根据即可得出y=-4，从而得出√【详解】∵；∴y=-4；∴√．故答案为√【点睛】考查向量平行时坐标的关系，向量坐标的运算，属于基础题．14．【解析】分析：先根据条件解出，，再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.15．√【解析】过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得：，∵，∴，则，设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，代入，可得，即，∴，即，∴，双曲线的实轴长为√，∴双曲线的离心率为√√，故答案为√.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，有一定的难度；过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义结合，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，求出点坐标，利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率.16．（）【解析】【分析】先求导，利用f′（x）=0时，x=0或x=,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a的范围.【详解】∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′（x）=0时，x=0或x=,（1）当∈（﹣∞，﹣1]时，即a时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时x=0时f（x）取得最小值，所以舍去.（2）当-10时，f(x)在（-1，）单调递增，在（，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意在，上没有最小值，则有{（3）当a=0时，f(x)=在，上显然没有最小值，故成立.（4）当01时，f(x)在（-1，）单调递增，在（0，）单调递增减，在（，1）单调递增，由题意在，上没有最小值，则有{()（5）当时，即a时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，1）单调递减，此时f(x)在，上没有最小值.综上：a-1.故答案为（）.【点睛】本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题17．（1）（2）√【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值．（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a的最小值．【详解】解：(1)∵中，，∴由正弦定理知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．(2)由(1)及⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得，所以当且仅当时取等号，所以的最小值为√【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．18．（1）x＝－2或3x－4y＋6＝0（2）2x－4y＋3＝0，√【解析】【分析】（1）⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化为标准方程，求出圆心C，半径r．分类讨论，利用C到l的距离为1，即可求直线l的方程；（2）