中考数学专题：锐角三角函数培优训练

锐角三角函数培优训练一、选择题1.(2019•湖南怀化)已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α=A．30°B．45°C．60°D．90°2.(2019·湖北宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为A．43B．34C．35D．453.(2019•山东威海)如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是A．B．C．D．4.（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为（）A.21313B.31313C.23D.325.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为33m，则鱼竿转过的角度是()A.60°B.45°C.15°D.90°6.（2020·凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）CBAA．12B．22C．2D．227.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是()A.12B.1C.3D.28.（2020·湖北荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cosBACÐ的值为（）A.55B.255C.12D.329.如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB︵上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是()A.(sinα，sinα)B.(cosα，cosα)C.(cosα，sinα)D.(sinα，cosα)10.(2019·浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为A．95sin米B．95cos米C．59sin米D．59cos米二、填空题11.已知α，β均为锐角，且满足|sinα－12|＋（tanβ－1）2＝0，则α＋β＝________．12.如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1cm，可用科学计算器)．13.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)14.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．15.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)16.（2020·苏州）如图，已知MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC.过点A作ADON，交射线OC于点D，过点D作DEOC，交ON于点E.设10OA，12DE，则sinMON________.17.(2019•江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．18.(2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC255AB2，则tanC=__________．三、解答题19.如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．20.(2019·本溪)小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF=30cm，CE：CD=1：3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求AC的长度(结果保留根号)；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号)．21.(2019•铜仁)如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，3≈1.732)22.(2019·湖南常德)图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．锐角三角函数培优训练-答案一、选择题1.【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sinα=12，∴∠α=30°．故选A．2.【答案】D【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC=22ADCD=2234=5．∴sin∠BAC=CDAC=45．故选D．3.【答案】A【解析】在△ABC中，sinA=sin20°=BCAB，∴AB=sin20BC=2sin20，∴按键顺序为：2÷sin20=，故选A．4.【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABCACBC，∵AC＝2，CB＝3，∴AB13，∴sin∠ABC33131313，∴∠ADC的正弦值等于31313，因此本题选B．5.【答案】C【解析】∵sin∠CAB＝BCAC＝326＝22，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝B′C′AC′＝336＝32，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.6.【答案】A【解析】如答图，连接BD（D、E均为格点），则DB⊥DE．EDCBA由勾股定理，得DB＝2，AD＝22．在Rt△ADB中，tanA＝21222DBAD，故选A．7.【答案】D【解析】如解图，将AB平移到PE位置，连接QE,则PQ＝210，PE＝22，QE＝42，∵△PEQ中，PE2＋QE2＝PQ2，则∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB＝tan∠P＝QEPE＝2.8.【答案】B【解析】过A点作BC的垂线，垂足为D，∵每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，∴AD=1，CD=3，∴223110AC=+=，过点B作AC的垂线，垂足为E，∴BEACBCADSABC2121,即BE10212121,∴105BE=.在RtABDD中，22112AB=+=，在RtABED中，AE=5102)510()2(22，∴cos∠BAC=55225102ABAE．9.【答案】C【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．10.【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，则BD320.395，∵cosαBDAB，∴cosα95AB，解得AB95cos米，故选B．二、填空题11.【答案】75°【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sinα－12|＝0，（tanβ－1）2＝0，则sinα＝12，tanβ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°.12.【答案】14.1【解析】如解图，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×0.940＝14.1(cm)．13.【答案】11【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝12PA＝9海里．∵∠B＝55°，sinB＝PMPB，∴0.8＝9PB，∴PB≈11海里．14.【答案】22【解析】如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC＝AB2－AC2＝62－22＝42，∵∠D＝∠A，∴tanD＝tanA＝BCAC＝422＝22.15.【答案】208【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝90×tan30°＝303，在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝90×tan60°＝903，BC＝BD＋CD＝303＋903＝1203≈208(米)．16.【答案】【答案】242517.【答案】3BC23【解析】如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2，在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，∴∠ABC1=30°，∴AC1=12AB=1，由勾股定理得：BC1=3，在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，∴∠AC2B=30°，∴AC2=4，由勾股定理得：BC2=23，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时3BC23．故答案为：3BC23．18.【答案】5【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2–BC255AB2，∴2BD•DC552BD2，∴DC55BD，∴tan555BDBDCDCBD．故答案为:5．三、解答题19.【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接CG，易得CG＝AG，再由四边形CEGF是矩形可得AG2＝GE2＋GF2；(2)给出∠AGF＝105°，可得出∠AGB＝60°，再由∠ABG＝45°，可想到过点A作BG的垂线，交BG于点M，分别在两个直角三角形中得出BM和MG的长，相加即可得出BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；(1分)理由：连结CG，∵ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，(2分)∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，∴四边形CEGF是矩形，(3分)∴CF＝GE，在直角△GFC中，由勾股定