九年级数学专题：线段最值《胡不归》题目

浅谈线段之和“胡不归”【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点D，小伙子从A走到D，然后从D折往B，可望最早到达B。用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为1V，在沙地上行走的速度为2V，即求21VBDVAD的最小值.例题1、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为_______解析：∵正方形ABCD为轴对称图形∴AP=PC∴AP+BP+CP=2AP+BP=)21(2BPAP∴即求BPAP21的最小值接下去就是套路我们要构造一个BP21出来连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AF⊥BE，垂足为F在Rt△PBF中，∵∠PBF=30°∴BPPF21ABCDP由此我们把BP21构造出来了∴BPAP21的最小值即为AF线段的长∵∠BAE=45°，∠AEB=60°∴解直角△ABE，得AO=BO=2，OE=36，OB=362根据面积法，AE21·BO=BE21·AF求出AF=62（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为PBmnPA的形式（mn＜1）第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=mn第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习3练习4如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO135lBA上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；练习7如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．练习8如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？附加（阿氏圆问题）阿氏圆也是形如PBmnPA的形式（mn＜1）最终还是化分为整。概念：又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。例1.在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8,AC=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD、CD，则BD+AD最小值解析：根据阿氏圆定义CD/BC=1/2为定值，不妨设BC与圆C交与E点取EC中点F,由已知==,且∠FCD=∠DCB所以△FCD相似于△DCBFD=BD所以BD+AD=FD+ADAF由勾股定理可得AF=2图1图2阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题练习1练习2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）练习3如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．练习4