初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项

第1页共14页初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n度的扇形面积等于圆的面积的360n，扇形的弧长等于l=180nR,S扇=12lR。二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB的面积S弓形=S扇性AOB-S△AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB的面积S弓形=S扇性AOB+S△AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB的面积S弓形=S扇性AOB-S△AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB的面积S弓形=S扇性AOB+S△AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S弓形=12S圆如图：半径OA=6cm,C为OB的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S。（右：乙图）解：由图形可知，S阴影ABC=S扇性ABO-S△ACO，而S扇形ABO=21206360=12，S△ACO=12×6×3×sin60°=932，所以S阴影ABC=(93122)cm2。2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。如图：⊙O中的弦AC=2cm，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。（部分与整体）第2页共14页解：做⊙O的直径AB1，则连结OC、B1C，∠ACB=90°，∠B=∠B1，AB1=22，∵OA=2,∴S△AOC=1,S扇形AOC=12,∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=12-1例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN与小圆相切,D为切点，且MN∥AB，MN=a，ON，CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。解：取MN的中点为E，连结OE，∴OE⊥MN，且EN=12MN=12a，∵D为切点，∴CD⊥MN,又∵MN∥AB，∴∠OED=∠EDC=∠DCO=90°，∴四边形OEDC是矩形，∴OE=CD，在RT△OEN中，ON2-OE2=EN2=(12a)2=14a2，∴S阴影=12S⊙O-12S⊙C=12×ON2-12CD2=12(ON2-CD2)=12(ON2-OE2)=12×14a2=28a例3、如图在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以A为圆心，AD为半径画弧，弧DE交BC于F，交AB的延长线于E，求阴影部分面积。解：在RT△ABF中，AB=1，AF=AD=2，∴sin∠FAB=32BFAF,∴∠FAB=3,∴所求面积S=S扇形AEF-S△ABF=212332232AFABBF答：所求阴影部分面积是2332。练习：1、如图⑴同心圆中，两圆半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（）A、B、43C、2D、42、如图⑵在平行四边形ABCD中，BD⊥AD,以BD为直径作圆，交AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）第3页共14页A、123B、1536C、30312D、483363、如图⑶设计一个商标图案（图中阴影部分），矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8，以点A为圆心，AD为半径作圆，则商标图案的面积等于（）A、48B、4+6C、3+8D、3+64、如图⑷,正方形ABCD的边长为a，以A为圆心，AD为半径作弧BD，又以AD为直径在正方形内作半圆，则曲线ABDA所围成的阴影面积为。5、一个正方形有一个内切圆和一个外接圆，则这两个圆的面积的比为。6、如图：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4cm，以AB为直径的圆交AC于D，求图中阴影部分面积。7、如图：⊙O的半径OA⊥OB，且OA=2，C为OB的中点，过C点作OA的平行线交弧AB于点D，求图中阴影部分的面积。第4页共14页3、容斥原理：ABABAB有些组合图形可以根据容斥原理来解答。下图中，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，求图中阴影部分的面积。解：这道题可以用容斥原理来解答：S阴=S扇形ABE+S扇形ADF-S长方形ABCD=22113.1463.1446444=16.82（平方厘米）如图⊙O内切正△ABC于点D、E、F，分别以A、B、C为圆心，AD长为半径作弧，已知正△ABC的边长为a，求图中阴影部分的面积。解：图中阴影部分的面积为S阴=S⊙O+3S扇形ADF-S△ABC=22226056333236360424aaaa例3：如图，分别过边长为a的正△ABC的每两个顶点和中心向三角形内作弧，求阴影部分的面积。解：图中阴影部分面积S阴=3S弓形AOB-S△ABC=2233333()343aa-234a=22332aa练习：1、如图，⑴在直角三角形ABC中。∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径做半圆，则图中阴影部分面积为（）A、23B、3C、23D、223第5页共14页2、如图正方形ABCD的边长为2cm，分别以A、C为圆心，此正方形边长为半径画弧，两弧围成的阴影部分面积是（）图(1)A、224cmB、25cmC、22cmD、22.5cm3、等腰直角三角形直角边AC=8，求图中阴影部分的面积。4、如图：正方形边长为4，求图中阴影部分的面积。4、平移法例1、如图，已知扇形AOB的圆心角为60°，半径为6，C、D分别是弧AB的三等分点，则图中阴影部分面积为。分析与解：C、D为弧AB的三等分点，所以三段弧所对的圆心角相等，所以，OC、OD所分成的三个扇形面积相等，所以可以平移到一个扇形中，于是阴影部分面积等于2202360R。计算下图中阴影部分面积解：把长方形分成两个相等的正方形，将右边正方形中的阴影部分向左平移，阴影部分正好是一个正方形，如右图所示，所求阴影部分的面积就是该正方形的面积。6*6=36平方厘米。=第6页共14页5、等积转化特征：同底（等底）等高的两个三角形面积相等。同高（等高）等底的两个三角形面积相等。如图：在Rt△ABC中，AC=BC，DEF的圆心为点A，若曲边形BDE与CEF的面积相等，求AD：DB的值。解：S△ABC=SBDE+SADECS扇形ADF=SECF+SADECSBDE=SCEF∴S△ABC=S扇形ADF设：AC=BC=1，则AB=2，所以2122222::2282ADADADBD例2、如图已知半圆的直径BC=10cm，AB=AD，∠ACD=35°，则图中的阴影部分面积等于。解：连结OA、OD，∵AB=AD，∴弧AB=弧AD，∴∠2=∠ACD，又∵∠ACD=35°∴∠2=35度，又AO=OC，∴∠1=∠2=35°，∴∠1=∠ACD，∴AO=DC,∴S△AOD=S△ADC,∴S阴影=S扇形OCD=22405253609cm例3：如图已知半圆的直径AB=12cm，点C、D是这个半圆的三等分点，求弦AC、AD和弧CD围成的阴影部分的面积。解：因为C、D为半圆的三等分点，所以弧AC=弧CD=弧BDCD∥AB，OBDACDADBAODSSSSS扇形半圆第7页共14页S阴影=S半圆-S△AOD-S扇形OBD=S半圆-S△AOC-S扇形OBD=21293cm练习1、如图在以AB为直径的半圆上，过B作半圆的切线BC，已知AB=BC=a，连结AC交半圆于D，则图中阴影部分的面积是？2、下图中等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，阴影部分甲与乙的面积相等，求扇形AEF所在的圆的面积。第8页共14页强化训练BB第9页共14页A25л—48第10页共14页BB第11页共14页A7．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．第12页共14页C410．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E.(1)求证：BD＝CD；(2)若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．第13页共14页第14页共14页13．如图，4个小正方形的边长都为1，求图中阴影部分图形的面积和．(结果保留π)