中考数学考点滚动小专题：解直角三角形的实际应用

滚动小专题(七)解直角三角形的实际应用类型1仰角、俯角问题1．(2017·宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度．(结果保留根号)解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝CDtan∠CAD＝xtan30°＝x33＝3x，由AD＋BD＝AB可得3x＋x＝10，解得x＝53－5.答：飞机飞行的高度为(53－5)km.2．(2017·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．解：(1)设DE＝x，∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan∠DCE＝33x，BC＝ABtan∠ACB＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋33x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6.∴树DE的高度为6米．(2)延长NM交DB延长线于点P，则AM＝BP＝3，由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋43.∵∠NDP＝45°，且MP＝AB＝2，∴NP＝PD＝3＋43.∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43.∴食堂MN的高度为(1＋43)米．类型2方向角问题3．(2017·十堰)如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过A作AC⊥BD于C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°.∴∠ABD＝∠BAD.∴BD＝AD＝12海里．∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝12AD＝6海里．由勾股定理，得AC＝122－62＝63≈10.3928，∴渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．4．(2017·天津)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长．(结果取整数)(参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，2取1.414)解：作PC⊥AB于C.由题意∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120，在Rt△APC中，sinA＝PCPA，cosA＝ACPA，∴PC＝PA·sinA＝120·sin64°，AC＝PA·cosA＝120·cos64°.在Rt△PCB中，∵∠B＝45°，∴PC＝BC.∴PB＝PCsin45°≈120×0.9022≈153.∴AB＝AC＋BC＝120·cos64°＋120·sin64°≈120×0.44＋120×0.90≈161.答：BP的长为153海里，BA的长为161海里．类型3坡角、坡度(比)问题5．(2017·黔东南)如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)解：假设点D移到点D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×32＝63(米)，CE＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形．∴DE＝D′E′＝63米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈630.81≈12.8(米)．∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7(米)．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．类型4与实际生活相关的问题6．(2017·呼和浩特)如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，由题意，得AC＝40×10＝400(米)．在Rt△ACM中，∵∠A＝30°，∴CM＝12AC＝200米，AM＝32AC＝2003米．在Rt△BCM中，∵tan20°＝BMCM，∴BM＝200tan20°.∴AB＝AM－BM＝2003－200tan20°＝200(3－tan20°)．因此A，B两地的距离AB长为200(3－tan20°)米．7．(2017·常德)如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮框D到地面的距离．(精确到0.01米)(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)图1图2解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABBC，∴AB＝BC·tan75°≈0.60×3.732＝2.2392.∴GM＝AB＝2.2392.在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝FGAF，∴sin60°＝FG2.50＝32.∴FG≈2.165.∴DM＝FG＋GM－DF≈3.05(米)．答：篮框D到地面的距离是3.05米．