中考数学专题：几何类难题快速提分训练（二）

中考前快速提分训练（二）9．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n（n为正整数）与y轴、x轴交于A、B两点．我们把横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，且规定在△ABO的三边上及内部的整点为有效整点．当n＝1时，图1中的有效整点共有3个；当n＝2时，图2中的有效整点共有6个；当n＝3时，图3中的有效整点共有10个；…，图n中的有效整点共有190个，则n＝（C）A．16B．17C．18D．19【解析】解：n＝1时，图1中的有效整点共有3个，3＝1＝2，当n＝2时，图2中的有效整点共有6个，6＝1＝2＝3当n＝3时，图3中的有效整点共有10个，10＝1+2+3+4…，图n中的有效整点共有1+2+…+（n+1）=(𝑛+1)(𝑛+2)．2，由题意：(𝑛+1)(𝑛+2)2=190，整理得：n2+3n﹣378＝0，解得n＝18或﹣21（舍弃），10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（）A．3B．√10C．6+√6D．6−√6【解析】解：设AE＝x，则ED＝8﹣x，∵EF⊥AD，∴四边形ABFE为矩形，∴BF＝x，∵点B关于EF的对称点为G点，∴FG＝BF＝x，∴CG＝8﹣2x，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD和BC为⊙O的切线，∵EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，∴EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，∴EG＝8﹣x+8﹣2x＝16﹣3x，在Rt△EFG中，42+x2＝（16﹣3x）2，整理得x2﹣12x+30＝0，解得x1＝6−√6，x2＝6+√6（舍去），即AE的长为6−√6．故选：D．14．如图，AB、AC分别为⊙O内接正三边形和正四边形的边，OC与AB交于点D，若BD＝2√3，则图中阴影部分的面积为．【解析】解：∵AB、AC分别为⊙O内接正三边形和正四边形的边，∴∠AOB＝120°，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠ABO＝30°，∴OD＝BD＝2√3，过点D作DE⊥OB于E，如图所示：则DE=12OD=√3，OB＝2OE＝2×√32OD＝2×√32×2√3=6，∴扇形BOC的面积=30×𝜋×62360=3π，△OBD的面积=12×6×√3=3√3，∴阴影部分面积为3π﹣3√315．若抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为．【解析】解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．16．如图，等边△ABC的边长为2√3，点D、E分别在AC、AB上，AD＝BE，连BD、CE交于点G，以BG、CG为邻边作平行四边形BGCP，BF⊥BC，BF＝2，延长PF交AC的延长线于Q，当CQ最长时，PF＝．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，∵BE＝AD，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠ABD＝∠BCE，∴∠GBC+∠BCE＝60°，∴∠BGC＝120°，∴∠BPC＝120°，∴点P在△ABC的外接圆⊙O上，过O作OH⊥FB于H，∵∠OBC＝30°，∴∠OBH＝60°，∵BC＝2√3，∴OB＝2＝BF，∴BH＝1，OH=√3，∴HF＝3，∴OF=√𝑂𝐻2+𝐻𝐹2=2√3，当FP与⊙O相切于P时，CQ最长，此时，由勾股定理得PF＝2√2．23．定义：经过三角形某一边的中点，且平分三角形周长的直线叫做三角形在该边上的中分线，其中与三角形边的两个交点的连线段叫做中分线段．如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，且DE平分△ABC的周长，则称直线DE为△ABC在BC边上的中分线，线段DE为△ABC在BC边上的中分线段．（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，∠ABC＝α．①请直接写出：△ABC在BC边上的中分线段长为8；②求△ABC在AC边上的中分线段长，并直接写出它与底边BC所夹的锐角的度数（用含α的式子表示）；（2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为边AC的中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为点H，设AB＝m，AC＝n．①求证：DF＝EF；②若m＝4，n＝6，求𝐵𝐻𝐺𝐻的值．【解析】解：（1）①如图1，取BC的中点D，作直线AD，则BD＝6，此时AD平分△ABC的周长，则直线AD是△ABC在BC边上的中分线，线段AD是△ABC在BC边上的中分线段，∵AB＝AC＝10，∴AD⊥BC，由勾股定理得：AD＝8，故答案为：8；②如图2，DE平分△ABC的周长，则直线ED是△ABC在AC边上的中分线，线段ED是△ABC在AC边上的中分线段，则AB+BE＝EC，作中线AF，过D作DG⊥AF于F，交AF于P，则EF＝11﹣6＝5，∴DG∥CF，∵AD＝DC，∴AG＝GF＝4，∵DG∥EF，∴△DGP∽△EFP，∴𝐷𝐺𝐸𝐹=𝐺𝑃𝑃𝐹，∴35=𝑃𝐺𝑃𝐹，∴PG=32，∴PF＝4−32=52，由勾股定理得：PD=√32+(32)2=3√52，PE=√52+(52)2=5√52，ED=3√52+5√52=4√5，如图3，过B作BN∥ED，交AF于N，过N作MN⊥AB于M，∴𝐸𝐹𝐵𝐸=𝑃𝐹𝑃𝑁，∴PN=12，∴FN=12+52=3，AN＝8﹣3＝5，同理得：BN＝3√5，设AM＝x，则BM＝10﹣x，由勾股定理得：AN2﹣AM2＝BN2﹣BM2，52﹣x2=(3√5)2−（10﹣x）2，x＝4，∴AM＝4，∴MN＝3，∴MN＝FN，∴BN平分∠ABC，∵PE∥BN，∴∠CEP＝∠CBN=12α，即DE与底边BC所夹的锐角的度数为：12𝛼；（2）①∵DE是△ABC在BC边上的中分线段，∴DF=12AB=12m，∵F为边AC的中点，∴AF=12n，又AE=12（m﹣n）∴EF＝AF﹣AE＝DF．②如图4，延长DE交BA的延长线于点P，由PB∥DF，EF＝FD．可知PA＝EA＝1，延长BH至点K使HK＝BH，连接PK，∴PK＝PB，∴∠KPE＝∠BPE＝∠AEP，∴PK∥AG．∴𝐵𝐴𝐵𝑃=𝐵𝐺𝐵𝐾，∴𝐵𝐺𝐵𝐾=45即𝐵𝐻𝐺𝐻=2.51.5=53．24．已知抛物线的顶点A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C．D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥y轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠ECF+tan∠EDG的值．【解析】解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，﹣3），∴﹣2k＝﹣3，∴k=32，∴直线OB的解析式为y=32x，∵抛物线的顶点A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，∴﹣3＝a（﹣2+1）2﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为32（t﹣s），∵MN∥x轴，∴t2+2t﹣3=32（t﹣s）∴s=−32t2−13t+2=−32（t+14）2+4924∴当t=−14时，MN的最大值为4924；（3）过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，则C（﹣3，0），D（1，0），设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，由△CEF∽△CQP，得𝐸𝐹𝑃𝑄=𝐶𝐸𝐶𝑄，∴EF=𝐶𝐸𝐶𝑄•PQ=2𝑡+3•（﹣t2﹣2t+3），由△EGD∽△QPD，得𝐸𝐺𝑃𝑄=𝐷𝐸𝐷𝑄，∴EG=𝐷𝐸𝐷𝑄•PQ=21−𝑡•（﹣t2﹣2t+3），∴EF+EG=2𝑡+3•（﹣t2﹣2t+3）+21−𝑡•（﹣t2﹣2t+3），＝2（﹣t2﹣2t+3）•4−𝑡2−2𝑡+3=8，∴tan∠ECF+tan∠EDG=𝐸𝐹+𝐸𝐺𝐶𝐸=4．10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BF∥OC，若AB＝10，BC＝2√5，则CF＝（）A．4B．5C．4√5D．3√5【解析】解：连OF、AC．∵BF∥OC，∴∠A＝∠BFC＝∠FCO．∵OF＝OC＝OA，∴∠ACO＝∠A＝∠FCO＝∠OFC，∴△OAC≌△OFC（AAS），∴CF＝AC=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=4√5，故选：C．16．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为．【解析】解：∵正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠CDA＝90°，∵AE＝DF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠DCF，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠DCF+∠CDE＝90°，∴∠CPD＝90°，∴点P在以CD为直径的半圆上运动，取CD的中点O，过O作OM⊥CD，且点M在CD的右侧，MO＝2，连接OP，KM，∵PK∥BC，BC⊥CD，∴PK⊥CD，∴PK∥OM，PK＝OM＝2，∴四边形POMK是平行四边形，∵CD＝AB＝4，∴OP=12CD＝2，∴OP＝OM，∴四边形POMK是菱形，∴点K在以M为圆心，半径＝2的半圆上运动，当BK与⊙M相切时，∠CBK最大，∴∠BKM＝90°，∵BM=√62+22=2√10，∴BK=√𝐵𝑀2−22=6，故答案为：6．23．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED•EA＝EC•EB；（2）如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC=35，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC=35，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）【解析】解：（1）如图1中，∵∠ADC＝90°，∠EDC+∠ADC＝180°，∴∠EDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠EDC＝∠ABC，∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴𝐸𝐷𝐸𝐵=𝐸𝐶𝐸𝐴，∴ED•EA＝EC•EB．（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．在Rt△CDF中，cos∠ADC=35，∴𝐷𝐹𝐶𝐷=35，∵CD＝5，∴DF＝3，∴CF=√𝐶𝐷2−𝐷𝐹2=4，∵S△CDE＝6，∴12•ED•CF＝6，∴ED=12𝐶𝐹=3，EF＝ED+DF＝6，∵∠ABC＝120°，∠G＝90°，∠G+∠BAG＝∠ABC，∴∠BAG＝30°，∴在Rt△ABG中，BG=12AB＝6，AG=√𝐴𝐵2−𝐵𝐺2=6√3，∵CF⊥AD，AG⊥EB，∴∠EFC＝∠G＝90°，∵∠E＝∠E，∴△EFC∽△EGA，∴𝐸𝐹𝐸𝐺=𝐶𝐹𝐴𝐺，∴6𝐸𝐺=46√3，∴EG＝9√3，∴BE＝EG﹣BG＝9√3−6，∴S四边形ABCD＝S△ABE﹣S△CDE=12（9√3−6）×6√3−6＝75﹣18√3．（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH＝4，DH＝3，∴tan∠E=4𝑛+3，作AG⊥DF于点G，设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a，∴FG＝DF﹣DG＝5+n﹣3a，∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，易证△AFG∽△CE