初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做题1-10

-1-初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做题1-10一、想一想、思一思、多种方法全等证明之割补法，（截取或延长）。例1、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，点E是BC中点，∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD证明：把CE绕C点顺时针旋转交DE于F，如图，∴CE=CF，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=CF，在△BAE和△CDF中∠BAE＝∠CDF∠3＝∠4BE＝CF∴△BAE≌△CDF（AAS），∴AB=CD．证明二：延长DE到G，使BE＝BG证明三：延长DE到G，使AB＝BG例2、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，点E是BC上一点，BE=k·EC，∠BAE=∠CDE，猜想AB、CD的数量关系.证明：把CE绕C点顺时针旋转交DE于F，如图，∴CE=CF，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3，∴△BAE∽△CDF-2-∴AB=k·CD例3、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,CD∥BA，，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE⊥AP交CD于E.想一想、思一思、咱来探究PE与PA的数量关系.答：PE=PA，理由如下：证明：过点P作PM⊥AC，垂足为M，过点P作PN⊥CD，垂足为N，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵CD∥BA，∴∠B=∠BCN=45°，∴∠ACB=∠BCN=45°，∵PM⊥AC，PN⊥CD，∴PM=PN，∵∠PMC=∠PNC=90°，∠ACB=∠BCN=45°，∴△PMC与△PNC都为等腰直角三角形，∴∠MPC=∠NPC=45°，即∠MPN=90°，∵∠APE=90°，∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE，即∠APM=∠EPN，在△APM和△EPN中，∠AMP＝∠EPN＝90°PM＝PN∠APM＝∠EPN∴△APM≌△EPN（ASA），-3-∴AP=EP．例4、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=k·AC,CD∥BA，，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE⊥AP交CD于E.想一想、思一思、咱来探究PE与PA的数量关系.证明：连接AE∵∠APE＝∠ACE＝90°∴AＰＣＥ四点共圆∴∠AＣＰ＝∠AEＰ∴△ＡＢＣ∽△ＰＡＥ∴k·ＰＥ＝ＰＡ证明二：过点Ｐ作ＡＣ，ＣＤ垂线，垂足Ｆ、Ｇ∴△ＡＢＣ∽△ＦＰＣ△ＡＰＦ∽△ＥＰＧＰＧ＝ＣＦ∴k·ＰＥ＝ＰＡ如图，在△ABC中，AI为BC边上的中线。求证：AB2+AC2=2AI²+2BI²利用勾股定理来证明。在Rt△ABH中，有AB²=AH²+BH²同理，有AI²=AH²+HI²，AC²=AH²+CH²并且BI=CI那么，AB²+AC²=2AH²+BH²+CH²=2(AI²-HI²)+(BI-IH)²+(CI+IH)²=2AI²-2HI²+BI²+IH²-2BI×IH+CI²+IH²+2CI×IH=2AI²+2BI²-4-例5、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC中，ACAB，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且CEBD，DE交BC于点P.想一想、思一思、咱来探究PE与PD的数量关系.ＰＤ＝ＰＥ证明：过点Ｅ作ＡＢ平行线交ＢＣ延长线于Ｆ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＦ＝∠ＦＢＤ＝ＣＥ＝ＥＦ∠ＢＰＤ＝∠ＥＰＦ∴△ＢＰＤ≌△ＦＰＥ（AAS）∴ＰＤ＝ＰＥ证明2：以Ｅ为圆心顺时针转与ＢＣ延线交于点Ｆ，同样四角相等。例6、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，ACkAB，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且CEBD，DE交BC于点P.想一想、思一思、咱来探究PE与PD的数量关系.ＰＥ＝k·ＰＤ证明：过点Ｅ作ＡＢ平行线交ＢＣ延长线于Ｆ∠Ｂ＝∠Ｆ∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＦ∴△ＡＢＣ∽△ＥＦＣＥＲ＝k·ＥＣ∴△ＤＢＰ∽△ＥＦＰＰＥ＝k·ＰＤ-5-例7、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC中，∠ＤＢＣ＝∠ＥＣＢ＝21∠Ａ，ＢＤ、CE交于点Ｐ，ＡＢAC想一想、思一思、咱来探究ＢＥ与ＣＤ的数量关系.ＢＥ＝ＣＤ证明：过点Ｂ作ＢＣ垂线交ＣＥ延长线于点Ｆ∴△ＢＣＦ≌△ＣＢＤ（ＳAS）ＢＦ＝ＣＤ∠ＢＥＣ+∠ＣＤＢ＝180°∴∠ＢＥＦ+∠ＢＦＥＢＦ＝ＣＤ＝ＢＥ证明二：∠ＣＤＢ为锐角时，以Ｃ为圆心，ＣＤ为半径逆时针旋转交ＢＤ于点Ｆ。∠ＢＰＥ＝∠Ａ∠ＢＥＰ＝∠ＡＤＰ证明三：在PD上截取PN=PE,连CN因为∠PCB＝∠PBC,所以OB=OC,又∠EPB=∠NPC所以△PBE≌△PCN（SAS）,所以BE=CN,∠EBP＝∠PCN,所以∠DNC＝∠DBC+∠BCN=30°+∠BCE+∠OCN=60°+∠OCN∠NDC=∠A+∠ABD=60°+∠ABD=60°+∠OCN所以∠DNC＝∠NDC所以CD=CN所以BE＝CD例8、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，∠ＤＢＣ+∠ＥＣＢ＝∠Ａ，ＢＤ、CE交于点Ｐ，ＡＢAC，ＰＢ＝k·ＰＣ-6-想一想、思一思、咱来探究ＢＥ与ＣＤ的数量关系.证明：在ＰＤ截取一点Ｆ，使∠ＦＣＰ＝∠ＥＢＰ∴△ＢＰＥ∽△ＣＰＦ∠ＢＥＣ＝∠ＡＤＢ＝∠ＢＦＣＣＤ＝ＣＦＢＥ＝k·ＣＤ例9、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ＥBC中，BD平分EBC，延长DE至点A，使得EDEA，且CABE.想一想、思一思、咱来探究AB与CD的数量关系.证明：在BC截取一点Ｆ，使BF=BE∴△ＢDE≌△BDF（ＳAS）ＥＤ＝ＤＦ＝ＡＦ∠ＡＥＢ＝∠ＤＦＣ∠ＡＢＥ＝∠Ｃ∴△ＡＢＥ≌△ＤＣＦ（ＡAS）ＡＢ＝ＣＤ例10、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，BD平分EBC，D是BD上一点，且DBkBD，连结CD、DE，并延长DE至点A，使得EDEA，且CABE.想一想、思一思、咱来探究AB与DC的数量关系.证明：过点Ｄ′作ＤＥ平行线Ｄ′Ｆ，在BC截取一点Ｇ，使BF=BＧ∴△ＢＦＤ′≌△ＢＧＤ′（ＳAS）∴△ＢＦＤ′∽△ＢＤＥ∴△ＢＥＡ′∽△ＡＢ＝k·ＣＤ′