中考数学考点讲解：一次函数的应用

第2课时一次函数的应用知识点1一次函数建模1．某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式为(D)A．Q＝20＋0.2tB．Q＝20－0.2t(t≥0)C．Q＝20－0.2tD．Q＝20－0.2t(0≤t≤100)知识点2一次函数的实际应用2．一位农民带上若干千克自产的土豆进城出售．为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图，结合图象回答下列问题：(1)农民自带的零钱是多少？(2)求降价前每千克的土豆价格是多少？解：(1)由图象可知，当x＝0时，y＝10.答：农民自带的零钱是10元．(2)设降价前每千克土豆价格是k元，则农民手中钱数y与所售土豆千克数x之间的函数关系式为y＝kx＋10.∵当x＝30时，y＝100，∴30k＋10＝100，解得k＝3.答：降价前每千克土豆价格是3元．3．为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．(1)y与x的函数关系式为y＝－20x＋1__890；(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案．并求出该方案所需费用．解：由题意，知x＜21－x.解得x＜10.5.又∵x≥1，∴x的取值范围是1≤x≤10，且x为整数．由(1)知：对于函数y＝－20x＋1890，y随x的增大而减小，∴当x＝10时，y有最小值，y最小＝－20×10＋1890＝1690(元)．答：使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元.重难点一次函数的实际应用(2017·临沂T24，9分)某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准．按照新标准，用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m3)之间的关系如图所示．(1)求y关于x的函数解析式；(2)若某用户二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超过25m3)，缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3?【思路点拨】(1)从图象看是一个分段函数，第一段是正比例函数，第二段是一次函数．根据折点的横坐标是15，进行自变量分段，然后根据图象上给出的点的坐标求解析式；(2)用函数解析式表示出二三月份的函数值，利用共缴纳的税费为79.8元列方程．(1)当0≤115时，设y＝mx，则15m＝27，∴m＝1.8.∴y＝1.8x.··························2分当x≥15时，设y＝kx＋b，则15k＋b＝27，20k＋b＝39.解得k＝2.4，b＝－9.∴y与x的关系式是y＝1.8x，0≤x152.4x－9，x≥15.···········5分(2)设二月用水量是am3，则三月用水量是(40－a)m3.∵x≤25，∴40－a≥15.①当0≤a15时，95a＋125(40－a)－9＝79.8，解得a＝12，∴40－a＝28.··········7分②当15≤a≤25时，125×40－9＝87≠79.8，不合题意．答：二月份用水量是12m3，三月份用水量是28m3.·······9分例题剖析1．利用待定系数法求分段函数的解析式．2．利用函数值之间的数量关系列方程，求自变量的值．方法指导1．求分段函数的解析式，先看清各段的函数类型，再用待定系数法设函数解析式，最后利用图象上点的坐标求解析式．2．用分段函数中的函数值表示数量关系时，要注意看清自变量在哪段范围之内，若无法确定，则必须进行分类讨论．【变式训练1】(2017·连云港改编)某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓，若基地一天的总销售收入为y元，则y与x的函数关系式为y＝－350x＋63__000，一天销售收入的最大值是60__550．【变式训练2】(2017·衢州)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．甲公司：按日收取固定租金80元，另外再按出租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租费是30元.方案一：选择甲公司；方案二：选择乙公司.选择哪个方案合理呢？解：(1)设y1＝k1x＋80，把点(1，95)代入，可得95＝k1＋80，解得k1＝15，∴y1＝15x＋80(x≥0)；设y2＝k2x，把点(1，30)代入，可得30＝k2，即k2＝30，∴y2＝30x(x≥0)．(2)当y1＝y2时，15x＋80＝30x，解得x＝163.当y1＞y2时，15x＋80＞30x，解得x＜163.当y1＜y2时，15x＋8030x，解得x＞163.∴当租车时间为163小时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．,变式点：利润或费用最值问题方法指导先确定函数解析式，然后确定自变量的取值范围，最后根据函数的增减性，结合自变量的取值范围确定函数最值，从而达到优化方案的目的．变式点：方案设计或选取方法指导利用一次函数设计方案的思路有两种：一种是根据两个函数值的大小关系列出相应的方程和不等式，根据求出的解和解集进行设计方案；另一种思路是，先求出两个函数图象的交点坐标，然后利用函数的增减性设计方案．1．某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了15，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，那么y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围分别是(D)A．y＝0.12x，x＞0B．y＝60－0.12x，x＞0C．y＝0.12x，0≤x≤500D．y＝60－0.12x，0≤x≤5002．(2017·聊城)端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是(D)A．乙队比甲队提前0.25min到达终点B．当乙队划行110m时，此时落后甲队15mC．0.5min后，乙队比甲队每分钟快40mD．自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255m/min3．(2017·南充)小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为0.3__km．4．(易错易混)某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：医疗费用范围报销比例标准不超过800元不予报销超过800元且不超过3000元的部分50%超过3000元且不超过5000元的部分60%超过5000元的部分70%设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元．请写出800＜x≤3000时，y关于x的函数关系式为y＝12x－400．5．(2017·宜昌)“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度y(单位：m/s)与时间x(单位：s)的关系如图所示，其中线段BC∥x轴．请根据图象提供的信息解答下列问题：(1)当0≤x≤10，求y关于x的函数解析式；(2)求C点的坐标．解：(1)当0≤x≤10时，y关于x的图象呈直线且过原点，故设函数解析式为y＝k1x，将(10，50)代入，得k1＝5.∴y＝5x(0≤x≤10)．(2)当10≤x≤30时，y关于x的图象是直线，设函数解析式为y＝kx＋b.将(10，50)，(25，80)代入上式，得50＝10k＋b，80＝25k＋b.解得k＝2，b＝30，所以函数解析式为y＝2x＋30.将x＝30代入y＝2x＋30，得y＝90.所以点C的坐标为(60，90)．6．(2017·苏州)某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数．已知行李质量为20kg时需付行李费2元，行李质量为50kg时需付行李费8元．(1)当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式；(2)求旅客最多可免费携带行李的质量．解：(1)根据题意，设y与x的函数表达式为y＝kx＋b.当x＝20时，y＝2，得2＝20k＋b.当x＝50时，y＝8，得8＝50k＋b.解方程组20k＋b＝2，50k＋b＝8，得k＝15，b＝－2.所求函数表达式为y＝15x－2.(2)当y＝0时，15x－2＝0，得x＝10.答：旅客最多可免费携带行李10kg.7．(2017·郴州)某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种；(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润．解：(1)根据题意，得5x＋3（30－x）≤130，4x＋6（30－x）≤144.解得18≤x≤20.∵x是正整数，∴x＝18，19，20.共有三种方案：方案一：A产品18件，B产品12件；方案二：A产品19件，B产品11件；方案三：A产品20件，B产品10件．(2)根据题意，得y＝700x＋900(30－x)＝－200x＋27000，∵－2000，∴y随x的增大而减小．∴x＝18时，y有最大值．y最大＝－200×18＋27000＝23400(元)．答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．8．A，B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A，B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y(m)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是180米．第8题图第9题图9．(易错易混)(2017·随州)在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发257h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km.其中正确的是②③④．(填上所有正确结论的序号)10．(2017·江西)如图是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：单层部分的长度x(cm)…46810…150双层部分的长度y(cm)…73727170…0(1)根据表中数据的规律，完成表格，并直接写出y关于x的函数解析式；(2)根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为1