中考数学考点讲解：一元二次方程

第6讲一元二次方程知识点1一元二次方程的相关概念及解法1．一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为(A)A．(x－3)2＝14B．(x－3)2＝4C．(x＋3)2＝14D．(x＋3)2＝42．已知关于x的方程x2＋x＋2a－1＝0的一个根是0，则a＝12．3．解方程：(1)x2＋4x－1＝0；解：方程可化为x2＋4x＝1.∴(x＋2)2＝5.∴x1＝－2＋5，x2＝－2－5.(2)(x－3)(x－1)＝3.解：方程化为x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4.知识点2一元二次方程根的判别式4．一元二次方程x2－2x＝0的根的判别式的值为(A)A．4B．2C．0D．－45．一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(C)A．有两个不相等的实数根B．无实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定6．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为(B)A．k＝－1B．k＝1C．k≥－1D．k≥1知识点3一元二次方程根与系数的关系7．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝(D)A．－4B．3C．－43D.438．设x1，x2是方程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则x1x2的值为－25．9．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)当x1＝1时，求另一个根x2的值．解：(1)由题意，得Δ＝(－3)2－4×1×m＝9－4m0，解得m94.(2)∵x1＋x2＝－ba＝3，x1＝1，∴x2＝2.知识点4一元二次方程的应用10．2015年某县GDP总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP总量实现1210亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为(C)A．1.21%B．8%C．10%D．12.1%重难点1一元二次方程的解法(2016·山西T17改编，7分)解方程：2(x－3)2＝x2－9.(1)用因式分解法解该方程；2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)1分2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，2分(x－3)(2x－6－x－3)＝0，3分(x－3)(x－9)＝0，4分∴x－3＝0或x－9＝0，5分∴x1＝3，x2＝9.7分(2)用配方法解该方程；【自主解答】方程可变形为x2－12x＋27＝0.(x－6)2－36＋27＝0，(x－6)2＝9，∴x－6＝－3或x－6＝3.∴x1＝3，x2＝9.(3)用公式法解该方程．【自主解答】方程可变形为x2－12x＋27＝0.这里a＝1，b＝－12，c＝27，∴Δ＝(－12)2－4×1×27＝360.∴x＝－（－12）±362×1＝6±3.∴x1＝3，x2＝9.方法指导解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法．解法选择口诀如下：方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；b，c相等都为零，等根是零不要忘；b，c同时不为零，因式分解或配方；也可直接套公式，因题而异择良方．易错提示1．用因式分解法解一元二次方程时，易出现方程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错误．2．用公式法解一元二次方程，在确定系数a，b，c时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式．3．对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项，如解x2－5x＝0时，易出现方程两边同时除以x，遗漏x＝0的情况．重难点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2017·黄石)已知关于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0.(1)求证：该方程有两个不等的实数根；(2)若该方程的两个实数根x1＋2x2＝9，求m的值．【思路点拨】(1)直接计算出根的判别式，利用非负数的性质判断即可；(2)利用根与系数的关系得到x1＋x2的值，将x1＋x2的值代入到x1＋2x2＝9中，可求出x2.因为x2是一元二次方程x2－4x－m2＝0的一根，故可将x2＝5直接代入到一元二次方程中，解关于m的方程，即可求出m.【自主解答】(1)证明：∵Δ＝(－4)2－4×1×(－m2)＝16＋4m20，∴该方程有两个不等的实数根．(2)根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－－41＝4.∵x1＋2x2＝9，∴x2＝5.∵x2＝5是一元二次方程x2－4x－m2＝0的一根，∴52－4×5－m2＝0.∴m＝±5.【变式训练1】(易错易混)(2017·白银)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠1．【变式训练2】(2017·十堰)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x21＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．解：(1)由题意，得Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得k≤54.∴实数k的取值范围为k≤54.(2)由题意，得x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1.∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，∴(1－2k)2－2×(k2－1)＝16＋(k2－1)，解得k＝－2或k＝6(舍去)．∴实数k的值为－2.方法指导1．判断一元二次方程根的情况，要明确a，b，c的值，然后比较b2－4ac与0的大小．2．利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有x1＋x2与x1x2的式子．易错提示解答关于二次项系数中含有未知数的一元二次方程时，容易忽视一元二次方程的前提条件是：二次项系数a≠0.因此，在解答过程中，要首先列出前提条件，即：在满足二次项系数a≠0的条件下求解．重难点3一元二次方程的应用(2017·眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路点拨】(1)根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量＝总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【自主解答】(1)(14－10)÷2＋1＝3.答：此批次蛋糕属第3档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得[10＋2(x－1)]×[76－4(x－1)]＝1080.整理得x2－16x＋55＝0.解得x1＝5，x2＝11.答：该烘焙店生产的是第5档次或第11档次的产品．【变式训练3】(2017·无锡)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是(C)A．20%B．25%C．50%D．62.5%【变式训练4】(2017·兰州)王叔叔从市场上买一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为(C)A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000,方法指导列一元二次方程解应用题的常见关系：(1)平均变化率问题：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；(2)利润问题：利润＝售价－成本；利润率＝利润成本×100%；(3)矩形面积问题①镶边矩形：如图，镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S＝(a－2x)(b－2x)；②内嵌十字架型矩形：如图，图1中阴影区域可以通过平移的方法变成图2中的样子，此时易得图1矩形ABCD中空白区域的面积为S＝(a－x)·(b－x)．易错提示要检验方程的解是否符合实际意义．1．(2017·泰安)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(A)A．(x－3)2＝15B．(x－3)2＝3C．(x＋3)2＝15D．(x＋3)2＝32．(2017·滨州)一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A)A．4B．2C．0D．－43．(2017·苏州)关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为(A)A．1B．－1C．2D．－24．(2016·天津)方程x2＋x－12＝0的两个根为(D)A．x1＝－2，x2＝6B．x1＝－6，x2＝2C．x1＝－3，x2＝4D．x1＝－4，x2＝35．(2017·威海)若1－3是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为(A)A．－2B．43－2C．3－3D．1＋36．(2016·青岛)输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：x20.520.620.720.820.9输出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为(C)A．20.5＜x＜20.6B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8D．20.8＜x＜20.97．如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为(C)A．2或－1B．0或1C．2D．－18．(2016·台州)有x支球队参加篮球比赛，共比赛45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(A)A.12x(x－1)＝45B.12x(x＋1)＝45C．x(x－1)＝45D．x(x＋1)＝459．(2017·泰安)关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根，则k的取值范围为k54．10．(易错易混)(2017·德州)方程3x(x－1)＝2(x－1)的根为x1＝1，x2＝23．11．(2017·南京)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝4，q＝3．12．(2017·盐城)若方程x2－4x＋1＝0的两根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为5．13．(2016·梅州)用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为x(20－x)＝64．14．选择适当的方法解下列方程：(1)x2－5x＋1＝0(用配方法)；解：x2－5x＝－1，x2－5x＋(52)2＝－1＋(52)2，(x－52)2＝214，x－52＝±212，所以x1＝5＋212，x2＝5－212.(2)(2017·丽水)(x－3)(x－1)＝3；解：方程化为x2－4x＝0，x(x－4)＝0，所以x1＝0，x2＝4.(3)2x2－22x－5＝0(用公式法)；解：Δ＝(－22)2－4×2×(－5)＝48，x＝22±482×2＝22±434＝2±232，所以x1＝2＋232，x2＝2－232.(4)(y＋2)2＝(3y－1)2.解：(y＋2)2－(3y－1)2＝0，(y＋2＋3y－1)(y＋2－3y＋1)＝0，(4y＋1)(－2y＋3)＝0，4y＋1＝0或－2y＋3＝0，所以y1＝－14，y2＝32.15．(2017·菏泽)列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？解：设销售单价为x元，由题意，得(x－360)[160＋2(480－x)]＝20000.整理，得x2－920x＋211600＝0.解得x1＝x2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．16．(2017·鄂州)关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)设方程的两个实数