03全国高中数学联赛试卷及答案

12003年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1.删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个数列的第2003项是【答】（）（A）2046(B)2047(C)2048(D)20492.设,,0,abRab那么直线0axyb和曲线22bxayab的图形是【答】（）(A)(B)(C)(D)3.过抛物线282yx的焦点F作倾斜角为60的直线.若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于【答】（）（A）163(B)83(C)1633(D)834.若5,,123x则2tantancos366yxxx的最大值是（A）1225(B)1126(C)127(D)125【答】（）5.已知,xy在区间2,2内，且1,xy则函数224949uxy的最小值是（A）85(B)2411(C)127(D)125【答】（）6.在四面体ABCD中设1,3ABCD，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于【答】（）（A）32(B)12(C)13(D)33二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7．不等式322430xxx的解集是______________8．设12,FF是椭圆22194xy的两个焦点，P是椭圆上的点，且12:2:1PFPF，则yxyxyxxy212PFF的面积等于_____________.9.已知2430,,AxxxxR1220,2750,.xBxaxaxxR若AB，则实数a的取值范围是_____________.10.已知,,,abcd均为正整数，且35log,log,24acbd若9ac，则bd____________.11.将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设_____________120.011,2,,1),1,nninMnaaaaina十进制位纯小数只取或（nT是nM中元素的个数，nS是nM中所有元素的和，则limnnnST________.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设35,2x证明不等式2123153219.xxx14．设A,B,C分别是复数0121,,12ZaiZbiZci（其中,,abc都是实数）对应的不共线的三点.证明：曲线4224012cos2cossinsin()ZZtZttZttR与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.15.一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片，使圆周上某一点'A刚好与A点重合.这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当'A取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.32003年全国高中数学联赛加试试题第二试一、（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A,B.所作割线交圆于C,D两点，C在P,D之间.在弦CD上取一点Q,使.DAQPBC求证：.DBQPAC二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数,,,lmn且.lmn已知444333,101010lmn其中,xxx而x表示不超过x的最大整数.求这种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间四边形，其中21,nqq2111,2,.2lqqqqN已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2q条连线段.证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形）42003年全国高中数学联赛第一试参考答案一、选择题123456CBACDB提示：1.注意到2025452,2116462,故20484520032003a;2.题设方程可化为baxy和122byax,观察图形可知；3.易知直线AB的方程为xy3,因此A,B两点的横坐标满足方程016832xx,从而弦AB中点的横坐标为340x,纵坐标340y,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=316；4.原函数可化为6cos342sin2xxy,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当3x时，y取最大值3611;5.消去y之后可得：224937351xxu,用基本不等式可求得函数u的最小值512;6.可用等积法求得，过程略。二、填空题7.3,215215,3.提示：原不等式可以化为:01||3||2xxx8.421FPF是直角三角形，故21FPF的面积为44221||||2121PFPFS;9.14a提示：3,1A,令axfx12,5722xaxxg,则只需xgxf,在5（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是03010301ggff,由此推出14a;10．93提示：由已知得dcba4523,,42,cdcaba,又9ca，故9222242cdabcdabcdab,推得192222cdabcdab,32,12516,25dbca;11．482+提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。由于A1A=A1B=AB=2,2OAOM,12MN,求得422118MNNAMA,故所求的高为482+；12．118提示：12nnT,nnnnnS10121011011012211121三、解答题13．证明：由bdacdacdbcabdcbadcba2)(22222可得,22222dcbadcba当且仅当a=b=c=d时取等号……5分则xxxxxxx315321123153212192142x……………………………………………………15分因为xxx315,32,1不能同时相等，所以1923153212xxx……………………………………20分14．设Ryxyixz,,则代入并由复数相等可得610121sin222xcxxxbxaytx即axabxbcay222因为A,B,C不共线，所以02bca,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分AB,BC的中点分别是2,43,2,41cbEbaD,；所以DE的方程为cbaxacy2341……………………………10分联立两式得02122xbca,得21x,注意到432141,所以抛物线与ABC中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为42,21bca,相应的复数为ibcaz4221…………………………………………………………15分15．如图建立直角坐标系，设sin,cos1RRA,MN为AA1的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，则|PA|=|PA1|……5分代入推得axaRyxR2sincos222………10分可得,22sin2222yxRaxaR其中22sinyxx,22cosyxy.所以1222222yxRaxaR…………15分平方后可化为1222222222aRyRax所求点的集合为椭圆1222222222aRyRax外（含边界）部分。…………20分