92全国高中数学联赛试题及解答

-1-11992年全国高中数学联赛试卷第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()(A)19911992(B)19921993(C)19911993(D)199319922．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x+1－y2)(y+1－x2)=0(B)(x1－y2)(y1－x2)=0(C)(x+1－y2)(y1－x2)=0(D)(x1－y2)(y+1－x2)=03．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(4Σi=1Si)/S，则λ一定满足()(A)2λ≤4(B)3λ4(C)2.5λ≤4.5(D)3.5λ5.54．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且CA，sinBsinA都是方程logbx=logb(4x－4)的根，则△ABC()(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z122z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为()(A)83(B)43(C)63(D)1236．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10x)，f(20x)=f(20+x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数二、填空题(每小题5分共30分)1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且1x，1y，1z成等差数列，则xz+zx的值是______．2．在区间[0，]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______．3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．4．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg(z2z1)3的值是______．5．设数列a1，a2，，an，满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2++a100的值是____．11O11xy-2-26．函数f(x)=x4－3x2－6x+13－x4－x2+1的最大值是_____．三、(20分)求证：164Σi=11k17．四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=15，BE=72CF=10，求l与m的距离．五、(20分)设n是自然数，fn(x)=xn+1－x－n－1x－x－1(x0，±1)，令y=x+1x．1.求证:fn+1(x)=yfn(x)fn-1(x)，(n1)2.用数学归纳法证明：fn(x)=yn－C1n－1yn－2+…+(－1)iCin－iyn－2i+…+(－1)n2，(i=1，2，…，n2，n为偶数)yn－C1n－1yn－2+…+(－1)iCin－i+…+(－1)n－12Cn－12n+12y，(i=1，2，…，n－12，n为奇数)-3-3第二试一、(35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．二、(35分)设集合Sn={1,2,,n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集．1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等．2．求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．3．当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和．三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足(1)|xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2)任何三点不在同一条直线上．试证：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2．-4-41992年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()(A)19911992(B)19921993(C)19911993(D)19931992解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴|AnBn|=1n－1n+1，于是|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=19921993，选B．2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x+1－y2)(y+1－x2)=0(B)(x1－y2)(y1－x2)=0(C)(x+1－y2)(y1－x2)=0(D)(x1－y2)(y+1－x2)=0解：(x1－y2)=0表示y轴右边的半圆，(y+1－x2)=0表示x轴下方的半圆，故选D．3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(4Σi=1Si)/S，则λ一定满足()(A)2λ≤4(B)3λ4(C)2.5λ≤4.5(D)3.5λ5.5解：4Σi=1Si≤4S，故4Σi=1Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，4Σi=1Si接近2S，故选A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且CA，sinBsinA都是方程logbx=logb(4x－4)的根，则△ABC()(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形解：x2=4x－4．根为x=2．∴C=2A，B=180°－3A，sinB=2sinA．sin3A=2sinA，3－4sin2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．选B．5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z122z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为()(A)83(B)43(C)63(D)123解：2z1z2=cosπ3±isinπ3．∴|z2|=8，z1、z2的夹角=60°．S=12·4·8·32=83．选A．6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10x)，f(20x)=f(20+x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)．11O11xy-5-5∴f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴是周期函数；∴f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－x))=－f(x)．∴是奇函数．选C．二、填空题(每小题5分共30分)1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且1x，1y，1z成等差数列，则xz+zx的值是______．解：16y2=15xz，y=2xzx+z，16·4x2z2=15xz(x+z)2．由xz≠0，得(x+z)2xz=6415，xz+zx=3415．2．在区间[0，]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是．解：7x=5x+2kπ，或7x=－5x+2kπ，(k∈Z)x=kπ，x=16kπ(k∈Z)，共有7解．3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是．解：正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线(如图)，故所求k的最大值=4．4．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg(z2z1)3的值是______．解：cos∠OZ1Z3=32+52－72235=－12．即∠OZ1Z3==120°，∴arg(z2z1)=π3或5π3．∴arg(z2z1)3=π．5．设数列a1，a2，，an，满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2++a100的值是____.解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，相减，得anan+1an+2(a4－an)=an+4－an，由anan+1an+21，得an+4=an．又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4．∴a1+a2++a100=25(1+1+2+4)=200．6．函数f(x)=x4－3x2－6x+13－x4－x2+1的最大值是_____．解：f(x)=(x2－2)2+(x－3)2－(x2－1)2+x2，表示点(x，x2)与点A(3，2)的距离及B(0，1)距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于|AB|=10．即所求最小值为10．三、(20分)求证：164Σi=11k17．证明：1k=2k+k2k－1+k=2(k－k－1)，同时1k2k+1+k=2(k+1－k)．于是得280Σk=1(k+1－k)80Σk=11k1+280Σk=1(k－k－1)即1680Σk=11k1+2(80－1)1+2(9－1)=17．ABCDD'C'B'A'AB(0,1)(3,2)OxyZ2Z3Z1xOy-6-6四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=15，BE=72CF=10，求l与m的距离．解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l，l∩m=K．作BQ⊥α，CR⊥α，垂足为Q、R，则Q、R∈l，且AP=BQ=CR=l与m的距离d．连PD、QE、RF，则由三垂线定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m．PD=15－d2，QE=494－d2，RF=10－d2．当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF，49－4d2=15－d2+10－d2．解之得d=6当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD－RF，49－4d2=15－d2－10－d2．无实解．∴l与m距离为6．五、(20分)设n是自然数，fn(x)=xn+1－x－n－1x－x－1(x0，±1)，令y=x+1x．1.求证:fn+1(x)=yfn(x)fn－1(x)，(n1)2.用数学归纳法证明：fn(x)=yn－C1n－1yn－2+…+(－1)iCin－iyn－2i+…+(－1)n2，(i=1，2，…，n2，n为偶数)yn－C1n－1yn－2+…+(－1)iCin－i+…+(－1)n－12Cn－12n+12y，(i=1，2，…，n－12，n为奇数)证明：⑴由yfn(x)fn－1(x)=(x+1x)(xn+1－x－n－1)－xn+x－nx－x－1