93全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x，y)||tany|+sin2x=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，则M∩N的元素个数是（）(A)4(B)5(C)8(D)95．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若ca等于AC边上的高h，则sinC－A2+cosC+A2的值是()(A)1(B)12(C)13(D)16．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zC，则方程|z+ni|+|zmi|=n与|z+ni||zmi|=m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是()二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为________．2．实数x，y满足4x25xy+4y2=5，设S=x2+y2，则1Smax+1Smin=_______．3．若zC，arg(z24)=5π6，arg(z2+4)=π3，则z的值是________.[来源:学科网ZXXK]4．整数10931031+3的末两位数是_______.三、（本题满分20分）三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D，则D为三棱锥S－ABC的外接球球心．四、（本题满分20分）设0ab，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹．[来源:学科网]五、（本题满分20分）设正数列a0，a1，a2，…，an，…满足anan－2－an－1an－2=2an－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{an}的通项公式．第二试一、（35分）设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4．[来源:Z。xx。k.Com]三、（35分）水平直线m通过圆O的中心，直线lm，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l与圆O相交时，ABCR+BCAP＜ACBQ；(3)l与圆O相离时，ABCR+BCAP＞ACBQ.1993年全国高中数学联合竞赛解答第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x，y)||tany|+sin2x=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，则M∩N的元素个数是（）(A)4(B)5(C)8(D)93．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，当AB时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（）（A）8（B）9（C）26（D）27【答案】D【解析】a1∈A或A，有2种可能，同样a1∈B或B，有2种可能，但a1A与a1B不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a2、a3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D．5．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若ca等于AC边上的高h，则sinC－A2+cosC+A2的值是()(A)1(B)12(C)13(D)16．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zC，则方程|z+ni|+|zmi|=n与|z+ni||zmi|m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是()[来源:学。科。网]【答案】B【解析】方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni，mi)，由①n0，故否定A，由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定C．由B与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是m0，|OF2|=－m．曲线上一点到－ni距离大，否定D，故选B．二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为________．2．实数x，y满足4x25xy+4y2=5，设S=x2+y2，则1Smax+1Smin=_______．【答案】85【解析】令x=rcosθ，y=rsinθ，则S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=54－52sin2θ．∴1Smax+1Smin=4+525+4－525=85．3．若zC，arg(z24)=5π6，arg(z2+4)=π3，则z的值是________.【答案】±(1+3i)【解析】如图，可知z2表示复数4(cos120°+isin120°)．∴z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+3i)．[来源:Zxxk.Com]z2-44xOy4．整数10931031+3的末两位数是_______.【答案】08【解析】令x=1031，则得x3x+3=x3+27－27x+3=x2－3x+9－27x+3．由于027x+31，故所求末两位数字为09－1=08．5．设任意实数x0x1x2x30，要使logx0x11993+logx1x21993+logx2x31993≥k·logx0x31993恒成立，则k的最大值是_______.6．三位数(100，101，，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．【答案】34【解析】首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个．三、（本题满分20分）三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D，则D为三棱锥S—ABC的外接球球心．四、（本题满分20分）设0ab，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹．五、（本题满分20分）设正数列a0、a1、a2、…、an、…满足anan－2－an－1an－2=2an－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{an}的通项公式．【解析】变形，同除以an－1an－2得：anan－1=2an－1an－2+1，令anan－1+1=bn，则得bn=2bn－1．即{bn}是以b1=11+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴bn=2n．∴anan－1=(2n－1)2．故∴a0=1，an=(2n－1)2(2n－1－1)2…(21－1)2．(n≥1)第二试一、（35分）设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4．n=2时，连1条对角线把四边形分成了2个三角形，但其中最多只能有1个钝角三角形．n=3时，无法从同一顶点出发连线段把四边形分成3个三角形，现连了1条对角线AC后，再连B与AC上某点得到线段，此时无法使得到的两个三角形都是钝角三角形．∴当n=2，3时无法得到满足题目要求的解．只有当n≥4时才有解．二、（35分）设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1,A2,,Am两两互不包含．试证：(1)mΣi=11C|A|n≤1；(2)mΣi=1C|Ai|n≥m2．其中|Ai|表示Ai所含元素的个数，C|Ai|n表示n个不同元素取|Ai|个的组合数．三、（35分）水平直线m通过圆O的中心，直线lm，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l与圆O相交时，ABCR+BCAP＜ACBQ；(3)l与圆O相离时，ABCR+BCAP＞ACBQ.【解析】证明：设MA=a，MB=b，MC=c，OM=d，⊙O的半径=r．且设k=d2－r2．则当k0时，点M在⊙O外，此时，直线l与⊙O相离；当k=0时，点M在⊙O上，此时，直线l与⊙O相切；当k0时，点M在⊙O内，此时，直线l与⊙O相交．∴AP=a2+d2－r2=a2+k，同理，BQ=b2+k，CR=c2+k．则ABCR+BCAP－ACBQ=ABCR+BCAP－(AB+BC)BQ=BC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR)=BC×AP2－BQ2AP+BQ－AB×BQ2－CR2BQ+CRPQRrdACBMOlm