95全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题(每小题6分，共36分)1．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a10，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S212．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z19951，Z19952，…，Z199520所对应的不同的点的个数是()(A)4(B)5(C)10(D)206．设O是正三棱锥P—ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式1PQ+1PR+1PS(A)有最大值而无最小值(B有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值，两者不等(D)是一个与面QPS无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1．设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|=．2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．3．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lgx]－2=0的实根个数是．4．直角坐标平面上，满足不等式组y≤3x，y≥x3，x+y≤100的整点个数是．5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．6．设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15xA，则A中元素的个数最多是．第二试一、(25分)给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．二、(25分)求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．[来源:Z|xx|k.Com]四、(35分)将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．1995年全国高中数学联赛一试(解答)一、选择题(每小题6分，共36分)1．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a10，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21【答案】C【解析】3(a+7d)=5(a+12d)，d=－239a，令an=a－239a(n－1)≥0，an+1=a－239an0，得n=20．选C．3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()4．已知方程|x－2n|=kx(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是()(A)k0(B)0k≤12n+1(C)12n+1k≤12n+1(D)以上都不是【答案】B【解析】由|x－2n|≥0，故k≥0，若k=0，可知在所给区间上只有1解．故k0．由图象可得，x=2n+1时，kx≤1．即k≤12n+1．故选B．又解：y=(x－2n)2与线段y=k2x(2n－1x≤2n+1)有两个公共点．x2－(4n+k2)x+4n2=0有(2n－1，2n+1]上有两个根．故△=(4n+k2)2－16n20．且(2n－1)2－(4n+k2)(2n－1)+4n20，(2n+1)2－(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－12n+12k22n+1．k≤12n+1．6．设O是正三棱锥P—ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式1PQ+1PR+1PS(A)有最大值而无最小值(B)有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值，两者不等(D)是一个与面QPS无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1．设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|=．【答案】2【解析】设α=x+yi，(x，y∈R)，则|α－β|=2|y|．∴y=±3．设argα=θ，则可取θ+2θ=2π，(因为只要求|α|，故不必写出所有可能的角)．θ=23π，于是x=±1．|α|=2．3．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lgx]－2=0的实根个数是．【答案】3【解析】令lgx=t，则得t2－2=[t]．作图象，知t=－1，t=2，及1t2内有一解．当1t2时，[t]=1，t=3．故得：x=110，x=100，x=103，即共有3个实根．5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．[来源:Zxxk.Com]【答案】420【解析】顶点染色，有5种方法，底面4个顶点，用4种颜色染，A44=24种方法，用3种颜色，选1对顶点C12，这一对顶点用某种颜色染C14，余下2个顶点，任选2色染，A23种，共有C12C14A23=48种方法；用2种颜色染：A24=12种方法；∴共有5(24+48+12)=420种方法．6．设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15xA，则A中元素的个数最多是．第二试一、(25分)给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．【解析】以y=2x代入曲线方程得x=0，x=8sinθ+cosθ+12sinθ－cosθ+3．∴所求弦长l=8sinθ+cosθ+12sinθ－cosθ+35．故只要求|x|的最大值即可．由(2x－8)sinθ－(x+1)cosθ=1－3x．(2x－8)2+(x+1)2≥(1－3x)2，即x2+16x－16≤0．解之得，－8≤x≤2．即|x|≤8(当sinθ=±2425，cosθ=∓725时即可取得最大值)．故得最大弦长为85．[来源:Zxxk.Com]三、(35分)如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．分析要证MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN．现∠A=∠C，故可证ΔAMQ∽ΔCPN．于是要证明AM∶AQ=CP∶CN．四、(35分)将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色．证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．AB边上的分点共有n+1个，由于n为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A、B异色)，不妨设相邻分点E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另两个顶点E、F，若E、F异色，则△EFE或△DFF为三个顶点同色的小直角三角形．若E、F同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．同样，BC边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P、Q，则考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，PQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．[来源:学。科。网][来源:Zxxk.Com]E'F'HGMNQPEFBCDA