高中数学曲线与方程

圆锥曲线专题第1讲椭圆一、知识体系二、知识清单1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|MF1|＋|MF2|＝2a|F1F2|为椭圆的焦距2a＞|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2补充：3．辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|时，不存在轨迹．(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．4．求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．三、题型突破（经典、重点、难点）（一）椭圆的定义及应用方法点睛（1）椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．（2）焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等经典练习1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A．x23＋y22＝1B．x23＋y2＝1C．x212＋y28＝1D．x212＋y24＝12.(2017·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．3.若2中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．4.设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积为()A．4B．6C．22D．425.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．（二）椭圆的标准方程方法点睛经典练习1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．2．已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．则椭圆C2的方程为________．（三）椭圆的几何性质方法点睛1.椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．高考对椭圆几何性质考查主要有以下三个命题角度：(1)利用椭圆性质求椭圆方程；(2)由椭圆的性质求参数的值或范围；(3)求离心率的值或范围．2.求椭圆离心率的方法①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．3.利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．经典练习1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是()A．x23＋y24＝1B．x24＋y23＝1C．x24＋y22＝1D．x24＋y23＝12.(2017·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF→·PA→的最大值为________．3．(2016·高考全国卷丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A．13B．12C．23D．34（四）直线与椭圆的位置关系方法点睛(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x(或y)的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率，k≠0)．经典练习1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程．2.（2016·高考全国卷甲）已知A是椭圆E：x24＋y23＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3＜k＜2.四、对接高考(2017·高考全国卷丙)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13(2017·高考北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.