全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类）

全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2015）-1第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类,2015年3月)注意：本试卷共六大题，满分100分,考试时间为180分钟.1所有答题都须写在此试题纸密封线右边,写在其他纸上无效.2密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.3当题空白不够,可写在当页背面,并注明题号.一填空题(本题满分30分,共6小题,每小题5分)（1）极限222020limxuxxueduedu的值是_______________。（2）设实数0a，微分方程2()'()0(0)0,'(0)1yxayxyy的解是_______________。（3）设矩阵0000,11A则50=A_______________。（4）不定积分24+1=1xdxx______________________________。（5）设曲线积分LyxydxxdyI||||，其中L是以(1,0),(01)(1,0)(0,1)，，，为顶点的正方形的边界曲线，方向为逆时针，则I_______________。（6）设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域,其面积为0A,函数(,)fxy在该区域及其边界上连续且(,)0fxy.记11(,)nnnDJfxydA,则极限lim=nnJ_______________。二(本题满分12分)设,1,2,,jljn是平面上点0P处的2n个方向向量,相邻两个向量之间的夹角为2n。若函数),(yxf在点0P有连续偏导数，证明01()0njjfPl。题号一二三四五六总分满分30分12分14分14分15分15分100分得分得分评阅人得分评阅人密封线密封线密封线省市____________学校____________准考证号_____________姓名____________全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2015）-2三(本题满分14分)设1212,,,AABB均为n阶方阵，其中22,AB可逆。证明：存在可逆矩阵,PQ使得(1,2)iiPAQBi成立的充要条件是112AA和112BB相似。四(本题满分14分)设0p，114x，且21(1,2,)pppnnnxxxn，证明111pnnx收敛且求和。得分评阅人得分评阅人全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2015）-3五(本题满分15分)（1）将[,)上的函数()||fxx展开成傅里叶级数,并证明22116kk.（2）求积分01uuIdue的值.六(本题满分15分)设(,)fxy为2R上的非负连续函数,若222lim(,)xyttIfxyd存在有限,则称广义积分2(,)Rfxyd收敛于I.(1)设(,)fxy为2R上非负连续函数.若2(,)Rfxyd收敛于I,证明极限,lim(,)txyttfxyd存在且等于I.（2）设2222axbxycyRed收敛于I,其中实二次型222axbxycy在正交变换下的标准型为2212uv.证明1和2都小于0.得分评阅人得分评阅人密封线密封线密封线省市____________学校____________准考证号____________姓名____________