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第一章随机变量及其变量分布§2.1离散型随机变量(一)随机变量引例一:掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}.我们可以引入变量X,使X=1,表示点数为1;x=2表示点数为2;…,X=6,表示点数为6。引例二,掷硬币,可能结果为Ω={正,反}.我们可以引入变量X,使X=0,表示正面,X=1表示反面。引例三,在灯泡使用寿命的试验中,我们引入变量X,使aXb,表示灯泡使用寿命在a(小时)与b(小时)之间。例如,1000≤X≤2000表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。0X4000表示灯泡寿命在4000小时以内的事件。定义1:若变量X取某些值表示随机事件。就说变量X是随机变量。习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。例如,引例一、二、三中的X都是随机变量。(二)离散型随机变量及其分布律定义2若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个(分散的)值,就说X是离散型随机变量。例如,本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。定义3若随机变量X可能取值为且有(k=1,2,…,n,…)或有其中,第一行表示X的取值,第二行表示X取相应值的概率。就说公式(k=1,2,…,n,…)或表格是离散型随机变量x的(概率)分布律,记作分布律有下列性质(1);(2)由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。所以反之,若一数列具有以上两条性质,则它必可以作为某随机变量的分布律。例1设离散型随机变量X的分布律为求常数c。【答疑编号:10020101针对该题提问】解由分布律的性质知1=0.2+c+0.5,解得c=0.3.例2掷一枚质地均匀的骰子,记X为出现的点数,求X的分布律。【答疑编号:10020102针对该题提问】解X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且则X的分布律为在求离散型随机变量的分布律时,首先要找出其所有可能的取值,然后再求出每个值相应的概率。例3袋子中有5个同样大小的球,编号为1,2.,3,4,5。从中同时取出3个球,记X为取出的球的最大编号,求X的分布率。【答疑编号:10020103针对该题提问】解X的取值为3,4,5,由古典概型的概率计算方法,得(三个球的编号为1,2,3)(有一球编号为4,从1,2,3中任取2个的组合与数字4搭配成3个)(有一球编号为5,另两个球的编号小于5)则X的分布律为例4已知一批零件共10个,其中有3个不合格,今任取一个使用,若取到不合格零件,则丢弃掉,再重新抽取一个,如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布率。【答疑编号:10020104针对该题提问】解X的取值为0,1,2,3,设表示“第i次取出的零件是不合格的”,利用概率乘法公式可计算,得故X的分布率为在实际应用中,有时还要求“X满足某一条件”这样的事件的概率,比如等,求法就是把满足条件的所对应的概率相加可得,如在例2中,求掷得奇数点的概率,即为P{X=1,或3,或5}=P{X=1}+P{X=3}+P{X=5}=在例4中,P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}=,P{X1}=P{X=2}+P{X=3}=,P{1≤X2.5}=P{X=1}+P{X=2}=,例5若X的分布律为求(1)P(X2),【答疑编号:10020105针对该题提问】(2)P(X≤2),【答疑编号:10020106针对该题提问】(3)P(X≥3),【答疑编号:10020107针对该题提问】(4)P(X4)【答疑编号:10020108针对该题提问】解(1)P(X2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3(2)P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5(3)P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.3+0.2=0.5(4)∵{x4}=Φ∴P{x4}=0(三)0-1分布与二项分布下面,介绍三种重要的常用离散型随机变量,它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。定义4若随机变量X只取两个可能值:0,1,且P{X=1}=p,P{X=0}=q其中0p1,q=1-p,则称X服从0-1分布。X的分布律为在n重贝努利试验中,每次试验只观察A是否发生,定义随机变量X如下:因为,所以X服从0-1分布。0-1分布是最简单的分布类,任何只有两种结果的随机现象,比如新生儿是男是女,明天是否下雨,抽查一产品是正品还是次品等,都可用它来描述。例6一批产品有1000件,其中有50件次品,从中任取1件,用{X=0}表示取到次品,{X=1}表示取到正品,请写出X的分布律。【答疑编号:10020109针对该题提问】解定义5若随机变量X的可能取值为0,1,…,n,而X的分布律为;其中,则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为X~B(n,p)。显然,当n=1时,X服从0-1分布,即0-1分布实际上是二项分布的特例。在n重贝努利试验中,令X为A发生的次数,则;即X服从参数为n,p的二项分布。二项分布是一种常用分布,如一批产品的不合格率为p,检查n件产品,n件产品中不合格品数X服从二项分布;调查n个人,n个人中的色盲人数Y服从参数为n,p的二项分布,其中p为色盲率;n部机器独立运转,每台机器出故障的概率为p,则n部机器中出故障的机器数Z服从二项分布,在射击问题中,射击n次,每次命中率为p,则命中枪数X服从二项分布。例7某特效药的临床有效率为0.95,今有10人服用,问至少有8人治愈的概率是多少?【答疑编号:10020110针对该题提问】解设X为10人中被治愈的人数,则X~B(10,095),而所求概率为例8设X~B(2,p),Y~B(3,p)。设,试求P{Y≥1}.【答疑编号:10020111针对该题提问】解,知,即由此得.再由可得例9考卷中有10道单项选择题,每道题中有4个答案,求某人猜中6题以上的概率。【答疑编号:10020112针对该题提问】解:已知猜中率,用X表示猜中的题数则在计算涉及二项分布有关事件的概率时,有时计算会很繁,例如n=1000,p=0.005时要计算就很困难,这就要求寻求近似计算的方法。下面我们给出一个n很大、p很小时的近似计算公式,这就是著名的二项分布的泊松逼近。有如下定理。泊松(Poisson)定理设λ0是常数,n是任意正整数,且,则对于任意取定的非负整数k,有证明略。由泊松定理,当n很大,p很小时,有近似公式,其中λ=np.在实际计算中,当n≥20,p≤0.05时用上述近似公式效果颇佳。例10一个工厂中生产的产品中废品率为0.005,任取1000件,计算:(1)其中至少有两件是废品的概率;【答疑编号:10020113针对该题提问】(2)其中不超过5件废品的概率。【答疑编号:10020114针对该题提问】解设X表示任取得1000件产品中的废品中的废品数,则X~B(1000,0.005)。利用近似公式近似计算,λ=1000×0.005=5.(1)(2)(四)泊松分布定义6设随机变量X的可能取值为0,1,…,n,…,而X的分布律为其中λ0,则称X服从参数为λ的泊松分布,简记为X~p(λ)即若X~p(λ),则有例11设X服从泊松分布,且已知P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}.【答疑编号:10020115针对该题提问】解设X服从参数为λ的泊松分布,则由已知,得解得λ=2,则§2.2随机变量的分布函数(一)分布函数的概念对于离散型随机变量X,它的分布律能够完全刻画其统计特性,也可用分布律得到我们关心的事件,如等事件的概率。而对于非离散型的随机变理,就无法用分布率来描述它了。首先,我们不能将其可能的取值一一地列举出来,如连续型随机变量的取值可充满数轴上的一个区间(a,b),甚至是几个区间,也可以是无穷区间。其次,对于连续型随机变量X,取任一指定的实数值x的概率都等于0,即P{X=x}=0。于是,如何刻画一般的随机变量的统计规律成了我们的首要问题。定义1设X为随机变量,称函数F(x)=P{X≤x},x∈(-∞,+∞)为X的分布函数。注意,随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量,其中也包含了离散型随机变量,即离散型随机变量既有分布律也有分布函数,二者都能完全描述它的统计规律性。例1若X的分布律为求(1)F(1),【答疑编号:10020201针对该题提问】(2)F(2.1),【答疑编号:10020202针对该题提问】(3)F(3),【答疑编号:10020203针对该题提问】(4)F(3.2)【答疑编号:10020204针对该题提问】解由分布函数定义知F(x)=P(X≤x)∴(1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.3(2)F(2.1)=P(X≤2.1)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.6(3)F(3)=P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9(4)F(3.2)=P(X≤3.2)=1-P(X3.2)=1-P(X=4)=1-0.1=0.9例2设离散型随机变量X的分布律为求X的分布函数【答疑编号:10020205针对该题提问】解当x-1时,F(x)=P{X≤x}=P(X-1)=0当-1≤x0时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}=0.2当0≤x1时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3当1≤x2时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6当x≥2时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1则X的分布函数F(x)为F(x)的图象见图2.1。从F(x)的图像可知,F(x)是分段函数,y=F(x)的图形阶梯曲线,在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点。一般地,对于离散型随机变量X,它的分布函数F(x)在X的可能值处具有跳跃,跳跃值恰为该处的概率,F(x)的图形是阶梯形曲线,F(x)为分段函数,分段点仍是。另一方面,由例2中分布函数的求法及公式(2.2.1)可见,分布函数本质上是一种累计概率。一般地,若X的分布律是则有X的分布函数为公式:所以,例2中X的分布函数为(二)分布函数的性质分布函数有以下基本性质:(1)0≤F(x)≤1.由于F(x)=P{X≤x},所以0≤F(x)≤1.(2)F(x)是不减函数,即对于任意的有因为当时,,即从而(3)F(-∞)=0,F(+∞)=1,即从此,我们不作严格证明,读者可从分布函数的定义F(x)=P{X≤x}去理解性质(3)。(4)F(x)右连续,即证明略。例2设随机变量X的分布函数为其中λ0为常数,求常数a与b的值。【答疑编号:10020206针对该题提问】解,由分布函数的性质F(+∞)=1,知a=1;又由F(x)的右连续性,得到由此,得b=-1.已知X的分布函数F(x),我们可以求出下列重要事件的概率:1°P{X≤b}=F(b).【答疑编号:10020207针对该题提问】2°P{aX≤b}=F(b)-F(a),其中ab.【答疑编号:10020208针对该题提问】3°P{Xb}=1-F(b)【答疑编号:10020209针对该题提问】证1°∵F(x)=P{X≤x}∴F(b)=P{X≤b}2°P{aX≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)3°P{Xb}=1-P{X≤b}=1-F(b)例3设随机变量X的分布函数为求【答疑编号:10020210针对该题提问】【答疑编号:10020211针对该题提问】【答疑编号:10020212针对该题提问】解例4求0-1分布的x的分布函数【答疑编号:10020213针对该题提问】解:已知所以例5设X~F(x)=a+barctanx(-∞x+∞)求(1)a与b【答疑编号:10020214针对该题提问】(2)P(-1X≤1)【答疑编号:10020215针对该题提问】解:(1)∵F(-∞)=0,F(+∞)=1解得,(2)§2.3连续型随机变量及概率密度(一)连续型随机变量及其概率密度定义若随机变量X的分
本文标题:自学考试专题:概率论与数理统计(2)
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