01全国高中数学联赛试题及详细解析

二○○一年全国高中数学联赛（10月4日上午8：00—9：40）题号[来源:学科网ZXXK]一[来源:学科网][来源:学科网]二[来源:学科网ZXXK]三合计加试[来源:学科网ZXXK]总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（）．（A）3333（B）3666（C）3999（D）320016．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=23-I,则z1z2=。9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是。10、不等式232log121x的解集为。11、函数232xxxy的值域为。14、设曲线C1:1222yax(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1）求实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a21时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1a2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：00—12：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。二、（本题满分50分）设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且12112njkjkniixxjkx，求niix1的最大值与最小值。三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一．选择题：CBDDCA2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．以上三个命题中正确的有（）．Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个【答案】B【解析】由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ．4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（）．Ａ．38kＢ．0＜ｋ≤12Ｃ．ｋ≥12Ｄ．0＜ｋ≤12或38k【答案】D【解析】这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论Ｄ．说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（）．Ａ．3333Ｂ．3666Ｃ．3999Ｄ．32001【答案】C6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．Ａ．2枝玫瑰价格高Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｃ．价格相同Ｄ．不确定【答案】A二．填空题7．3328．i137213309．6610．),4()2,1()1,0(7211．),2[)23,1[12．7327．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．【答案】3328．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１·ｚ２＝______________．【答案】30721313iｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13．故ｚ１·ｚ２＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］＝－（30／13）＋（72／13）ｉ．说明：本题也可以利用复数的几何意义解．10．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．【答案】ｘ＞4，或1＜ｘ＜22／7，或0＜ｘ＜1．【解析】从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ1／2ｘ＜－2，或－2／7＜ｌｏｇ1／2ｘ＜0，或ｌｏｇ1／2ｘ＞0．从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜22／7，或0＜ｘ＜1．11．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．【答案】［1，3／2）∪［2，＋∞）．【解析】先平方去掉根号．由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．说明：（1）参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．【答案】732【解析】为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．三．解答题13．【解析】设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得412121)()2(dadaa化简得：0422121ddaa14．【解析】(1)由)(212222mxyyax消去y得：0222222amaxax①设222222)(amaxaxxf，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：212am，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；2°f(a)f(－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；3°f(－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．f(a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．综上可知，当0＜a＜1时，212am或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．15．【解析】设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当Ri＝ai，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小证明如下：1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则21111RRR．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB2132312132121RRRRRRRRRRRRRRAB显然R1＋R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的—个．4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，这就说明，要证结论成立2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则bakcakABAC,∴直线AC的方程为)(cxcay，直线BE的方程为)(bxacy由)()(cxcaybxacy得E点坐标为E(2222222,caabcaccabcca)同理可得F(2222222,baabcabbacbba)直线AC的垂直平分线方程为)2(2cxacay直线BC的垂直平分线方程为2cbx由2)2(2cbxcxacay得O(aabccb2,22)bcaacabcbbaabcabkabacabcbcbaabckDFOB222222,22∵1DFOBkk∴OB⊥DF二．【解析】先求最小值，因为niinjkjkniiniixxxjkxx11122112)(≥1等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴niix1最小值为1．再求最大值，令kkykx∴nknjkjkkykyky11212①设nknkkkykxM11，令nnnnayayyayyy22121则①⇔122221naaa令1na＝0，则nkkkaakM11)(nknknknknkkkkkkakkakakakak111111)1(1三．【解析】记所求最小值为f(m，n)，可义证明f(m，n)＝rn＋n－(m，n)(*)其中(m，n)表示m和n的最大公约数事实上，不妨没m≥n(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n)当用m＝1时，命题显然成立．假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)．当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，n)(2)关于m归纳可以证明(*)成立．当m＝1时，由于n＝1，显然f(m，n)＝rn＋n－(m，n)假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f(m，n)＝rn＋n－(m，n)若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f(m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，…，ap不妨a1≥a2≥…≥ap显然a1＝n或a1＜n．AA1BCD1Dmn