02全国高中数学联赛试题及详细解析

说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f(x)=)32(log221xx的单调递增区间是(A)(-∞，-1)(B)(-∞，1)(C)(1，+∞)(D)(3，+∞)2、已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50}，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有(A)50100C(B)5090C(C)49100C(D)4999C3、由曲线x2=4y,x2=4y,x=4,x=4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则[来源:Zxxk.Com](A)V1=21V2(B)V1=32V2(C)V1=V2(D)V1=2V2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）4、已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2,|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则2121zzzz=。5、将二项式nxx)21(4的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有个。[来源:Z*xx*k.Com][来源:Z|xx|k.Com]三、解答题（本题满分60分，每小题20分）6、已知点A(0,2)和抛物线y=x2+4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。7、如图，有一列曲线P0,P1,P2,……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。①求数列{Sn}的通项公式；②求nnSlim。8、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②当x∈(0,2)时，f(x)≤2)21(xP9P1P2P3P4P5P6P7P8P10P0P1P2③f(x)在R上的最小值为0。求最大值m(m1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次。三、（本题满分50分）在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。2002全国高中数学联赛答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f(x)=)32(log221xx的单调递增区间是(A)(-∞，-1)(B)(-∞，1)(C)(1，+∞)(D)(3，+∞)【答案】A【解析】由x2-2x-30x-1或x3，令f(x)=u21log,u=x2-2x-3，故选A2、函数f(x)=221xxx(A)是偶函数但不是奇函数(B)是奇函数但不是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数[来源:学科网]【答案】A【解析】直接根据奇偶函数的定义解答。S=11OBPOAPSS=cos4321sin3421=6(sin+cos)=)4sin(26∴Smax=62∵S⊿OAB=6∴626)(max1ABPS∵6263∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选BxyOABP16、由曲线x2=4y,x2=4y,x=4,x=4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则(A)V1=21V2(B)V1=32V2(C)V1=V2(D)V1=2V2四、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2,|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则2121zzzz=。【答案】7133【解析】由余弦定理得|Z1+Z2|=19,|Z1Z2|=7,2121zzzz=71338、将二项式nxx)21(4的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有个。【答案】3【解析】不难求出前三项的系数分别是)1(81,21,1nnn，∵)1(811212nnn∴当n=8时，43161)21(rrrnrxCT(r=0,1,2,…，8)∴r=0,4,8,即有3个9、如图，点P1,P2,…,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk)(1ijk≤10)有个。10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5f(x+1)≤f(x)+1若g(x)=f(x)+1x，则g(2002)=。11、若1)2(log)2(log44yxyx，则的最小值是。【答案】3P9P1P2P3P4P5P6P7P8P1012、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是。【答案】(-∞,-2]四、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、已知点A(0,2)和抛物线y=x2+4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。【解析】设B点坐标为B(y124,y1)，C点坐标为C(y24,y)显然y124≠0，故21421211yyykAB∵AB⊥BC∴KBC=(y1+2)∴4)]4()[2(22111xyyxyyy(2+y1)(y+y1)+1=0y12+(2+y)y1+(2y+1)=0∵y1∈R∴⊿≥0y≤0或y≥4∴当y=0时，点B的坐标为(-3，-1)；当y=4时，点B的坐标为(5，3)，均满足题意。故点C的纵坐标的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞)14、如图，有一列曲线P0,P1,P2,……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。①求数列{Sn}的通项公式；②求nnSlim。下面用数学归纳法证明(※)式当n=1时，由上面已知(※)式成立，假设当n=k时，有Sk=k)94(5358P0P1P2当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk，Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为)1(231k，而Pk有3×4k条边。故Sk+1=Sk+3×4k×)1(231k=1)94(5358k综上所述，对任何n∈N，(※)式成立。②58])94(5358[limlimnnnnS15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②当x∈(0,2)时，f(x)≤2)21(x③f(x)在R上的最小值为0。求最大值m(m1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x∴m≤tt41≤)4(4)4(1=9当t=-4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x4)x=41(x210x+9)=41(x1)(x9)≤0∴m的最大值为9。另解：∵f(x-4)=f(2-x)∴函数的图象关于x=-1对称二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：a)评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；b)如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一、（本题满分50分）如图，在⊿ABC中，∠A=60°，ABAC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求OHNHMH的值。【解析】在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，由三角形外心的性质知∠BOC=2∠A=120°由三角形垂心的性质知∠BHC=180°-∠A=120°∴∠BOC=∠BHC∴B、C、HO四点共圆∴∠OBH=∠OCHOB=OCBK=CH∴⊿BOK≌⊿COH∵BOK=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°观察⊿OKHBACEFOHKMN30sin120sinOHKHKH=3OH又∵BM=CN，BK=CH，∴KM=NH∴MH+NH=MH+KM=KH=3OH∴OHNHMH=3二、（本题满分50分）实数a,b,c和正数使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三个实根x1,x2,x3，且满足①x2x1=,②x321(x1+x2)求233927233abca由(Ⅰ)得43332]312431322223babaax记p=ba32，由(Ⅱ)和(Ⅲ)可知p≥42且)(493227231223ppcaab三、（本题满分50分）在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。【解析】设第i名队员上场的时间为xi分钟(i=1,2,3,…,7)，问题即求不定方程x1+x2+…+x7=270①在条件7|xi(1≤i≤4)且13|xj(5≤j≤7)下的正整数解的级数。若(x1,x2,…,x7)是满足条件①的一组正整数解，则应有41iix=7m75jjx=13nm,n∈N∴m,n是不定方程7m+13n=270②在条件m≥4且n≥3下的一组正整数解。∵7(m-4)+13(n-3)=203令m′=m4n′=n3有7m′+13n′=270③∴求②满足条件m≥4且n≥3的正整数解等价于求③的非负整数解。∵易观察到7·2+13·(-1)=1∴7·406+13·(-203)=203即m0=406n0=203是③的整数解∴③的整数通解为m′=40613kn′=203+7kk∈Z令m′≥0n′≥0,解得29≤k≤31取k=29,30,31得到③满足条件的三组非负整数解：029nm716nm143nm[来源:学科网]