09全国高中数学联赛试题及答案

202009年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。答卷时间为80分钟。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。答卷时问为150分钟。20一试一、填空（每小题7分，共56分）1．若函数21xfxx且()nnfxffffx，则991f．2．已知直线:90Lxy和圆22:228810Mxyxy，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．3．在坐标平面上有两个区域M和N，M为02yyxyx≥≤≤，N是随t变化的区域，它由不等式1txt≤≤所确定，t的取值范围是01t≤≤，则M和N的公共面积是函数ft．4．使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为．5．椭圆22221xyab0ab上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OPOQ的最小值为．6．若方程lg2lg1kxx仅有一个实根，那么k的取值范围是．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶910∶830∶930∶850∶950∶概率161213一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题1．（14分）设直线:lykxm（其中k，m为整数）与椭圆2211612xy交于不同两点A，B，与双曲线221412xy交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．（15分）已知p，0qq是实数，方程20xpxq有两个实根，，数列na20满足1ap，22apq，1234nnnapaqan，，(Ⅰ)求数列na的通项公式（用，表示）；(Ⅱ)若1p，14q，求na的前n项和．3．（15分）求函数2713yxxx的最大和最小值．加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧BC、AC的中点．过点C作PCMN∥交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T．⑴求证：MPMTNPNT；⑵在弧AB（不含点C）上任取一点Q（QA≠，T，B），记AQC，QCB△的内心分别为1I，2I，ITQPNMCBA求证：Q，1I，2I，T四点共圆．10．求证不等式：202111ln12nkknk≤，1n，2，…11．设k，l是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数mk≥，使得Ckm与l互素．2012．在非负数构成的39数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839xxxxxxxxxPxxxxxxxxxxxxxxxxxx中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390xxx，27x，37x，18x，38x，19x，29x均大于．如果P的前三列构成的数表111213212223313233xxxSxxxxxx满足下面的性质()O：对于数表P中的任意一列123kkkxxx（1k，2，…，9）均存在某个123i，，使得⑶123minikiiiixuxxx≤，，．求证：（ⅰ）最小值123miniiiiuxxx，，，1i，2，3一定自数表S的不同列．（ⅱ）存在数表P中唯一的一列***123kkkxxx，*1k≠，2，3使得33数表***111212122231323kkkxxxSxxxxxx仍然具有性质()O．20202020202020\2020202020202020