99全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．给定公比为q(q1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n2+a3n1+a3n,…，则数列{bn}【答】（）(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（）(A)0(B)1(C)2(D)33．已知点A(1,2)，过点(5,2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.8.已知=arctg125，那么，复数iiz2392sin2cos的辐角主值是_________.9.在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b219c2=0，则BACctgctgctg=__________.10.已知点P在双曲线191622yx上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____.11.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______.12.已知三棱锥SABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角HABC的平面角等于30,SA=23。那么三棱锥SABC的体积为__________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)[来源:学|科|网]13.已知当x[0,1]时，不等式0sin)1()1(cos22xxxx恒成立，试求的取值范围。14.给定A(2,2)，已知B是椭圆1162522yx上的动点，F是左焦点，当|AB|+35|BF|取最小值时，求B的坐标。15.给定正整数n和正数M，对于满足条件2121naa≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。[来源:学科网ZXXK]第二试三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。1999年全国高中数学联合竞赛答案一、选择题题号123456答案CABD[来源:学.科.网]BC1.给定公比为q(q1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n2+a3n1+a3n,…，则数列{bn}【答】（）(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|1)2+(|y|1)2＜2的整点(x,y)的个数是【答】（）(A)16(B)17(C)18(D)25【答案】(A)【解析】由21||1||22yx,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个.5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（）(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】(B)【解析】设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛.由题意，可得50623rCn，即243nn=44+r.由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数.二、填空题题号789101112答案6564437.已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.【答案】6.8.已知=arctg125，那么，复数iiz2392sin2cos的辐角主值是_________.【答案】4【解析】z的辐角主值argz=arg［(12+5i)2(239-i)］=arg［(119+120i)(239-i)］=arg［28561+28561i］=49.在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b219c2=0，则BACctgctgctg=__________.【答案】.【解析】[来源:学,科,网]12.已知三棱锥SABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角HABC的平面角等于30,SA=23。那么三棱锥SABC的体积为__________.【答案】439【解析】由题设，AH⊥面SBC.作BH⊥SC于E.由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB.故SC⊥面ABE.设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC.由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F.同理，BO⊥AC.故O为△ABC的垂心.又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=.因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB.所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角.故∠EFC=30°，OC=SCcos60°=3，SO=OCtg60°=3.又OC=33AB，故AB=3OC=3.所以，VS-ABC=439.三、解答题13.已知当x[0,1]时，不等式0sin)1()1(cos22xxxx恒成立，试求的取值范围。【解析】因此，原题中θ的取值范围是2kπ+12θ2kπ+125,kZ.或解：若对一切x∈［0，1］，恒有14.给定A(2,2)，已知B是椭圆1162522yx上的动点，F是左焦点，当|AB|+35|BF|取最小值时，求B的坐标。【解析】15.给定正整数n和正数M，对于满足条件2121naa≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。[来源:Z#xx#k.Com]1999年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一、(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC.二、(满分50分)给定实数a,b,c，已知复数z1,z2,z3满足：11||||||133221321zzzzzzzzz，求|az1+bz2+cz3|的值。【解析】记eiθ=cosθ+isinθ．可设，，则)(31iezz．由题设，有eiθ+eiφ+e-i(θ+φ)=1.φ两边取虚部，有0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。【解析】(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,ak，且1≤a1≤a2≤…≤ak，ai∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为xiai,xi∈｛-1，0，1｝．若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，…,n的物品，则上述表示式中含有1，2，…，n，由对称性易知也含有0，-1，-2，…，-n，即｛xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±n｝．所以，2n+1=|｛0，±1，…，±n｝|≤|｛xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝|≤3k，即n≤Ⅱ.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，即ai=3i-1(1≤i≤m)．若对每个-≤l≤,都有l=xiai，xi∈｛-1，0，1｝．即｛xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±｝．注意左边集合中至多有3m个元素．故必有｛xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝=｛0,±1，…，±｝．