高一数学培优宝典-高考知识练习：不等式（必修5）

1．(2013·陕西，10，易)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y]【答案】DA不成立，如[－π]＝－4，－[π]＝－3；B不成立，如x＝1.6时，[2x]＝3，2[x]＝2；C不成立，如x＝y＝1.6，则[x＋y]＝3，[x]＋[y]＝2，由排除法知选D.思路点拨：本题考查新定义问题，解题的关键是把握取整函数的意义，取特殊值进行判断即可．2．(2011·浙江，7，易)若a，b为实数，则“0ab1”是“a1b或b1a”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A当0ab1时，若b0，则有a1b；若b0，则a0，从而有b1a，故“0ab1”是“a1b或b1a”的充分条件．反之，取b＝1，a＝－2，则有a1b或b1a，但ab0，故选A.3．(2011·上海，15，易)若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2【答案】DA项，当a＝b＝1时，满足ab0，但a2＋b2＝2ab，所以A错误；B，C项，当a＝b＝－1时，满足ab0，但a＋b0，1a＋1b0，而2ab0，2ab0，显然B，C错误；D项，当ab0时，由基本不等式得ba＋ab≥2ba·ab＝2，所以D正确．4．(2013·上海春季，17，易)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A.1a1bB．abb2C．－ab－a2D．－1a－1b【答案】D方法一(利用不等式性质求解)：A项，由ab0，得b－a0，ab0，故1a－1b＝b－aab0，1a1b，故A项错误；B项，由ab0，得b(a－b)0，abb2，故B项错误；C项，由ab0，得a(a－b)0，a2ab，即－ab－a2，故C项错误；D项，由ab0，得a－b0，ab0，故－1a－－1b＝a－bab0，－1a－1b成立．故D项正确．方法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则1a＝－12－1＝1b，ab＝21＝b2，－ab＝－2－4＝－a2，－1a＝121＝－1b.故A，B，C项错误，D项正确．5．(2010·江苏，12，中)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．【解析】∵4≤x2y≤9，∴19≤yx2≤14，∴181≤y2x4≤116.又∵3≤xy2≤8，而x3y4＝1y4x3＝1xy2·y2x4，且127≤xy2·y2x4≤12，∴2≤x3y4≤27.【答案】27考向不等式的性质及应用1．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔ba.(2)传递性：ab，bc⇒ac.(3)可加性：ab⇒a＋cb＋c.(4)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc.(5)加法法则：ab，cd⇒a＋cb＋d.(6)乘法法则：ab0，cd0⇒acbd.(7)乘方法则：ab0⇒anbn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.(2)a＜0＜b⇒1a＜1b.(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒ac＞bd.(1)(2014·四川，4)若ab0，cd0，则一定有()A.acbdB.acbdC.adbcD.adbc(2)(2014·山东，5)已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋11y2＋1B．ln(x2＋1)ln(y2＋1)C．sinxsinyD．x3y3【解析】(1)方法一：cd0⇒cd0⇒ccddcd0⇒1d1c0⇒－1d－1c0ab0⇒－ad－bc⇒adbc.方法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确．(2)因为0a1，axay，所以xy.对于选项A，取x＝2，y＝1，则1x2＋11y2＋1，显然A错误；对于选项B，取x＝－1，y＝－2，则ln(x2＋1)ln(y2＋1)，显然B错误；对于选项C，取x＝π，y＝π2，则sinπ2sinπ，显然C错误；对于选项D，若xy，则x3y3一定成立，故选D.【答案】(1)D(2)D1.比较大小的方法(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特殊值法若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法求解．2．判断关于不等式的命题真假的三种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．(3)特殊值验证法：即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．(2014·福建三明模拟，4)若ab0，则下列不等式一定成立的是()A.1a－b＞1bB．a2＜abC.|b||a|＜|b|＋1|a|＋1D．an＞bn【答案】C(特殊值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b||a||b|＋1|a|＋1⇔|b|(|a|＋1)|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b||a||b|＋|a|⇔|b||a|，∵ab0，∴|b||a|成立，故选C.1．(2015·山东临沂一模，1)若a，b为实数，则ab0是“a2b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A当ab0时，a2b2显然成立；当a2b2时，令a＝－2，b＝1，则ba，故a2b2⇒ab0不成立，故选A.2．(2015·安徽合肥模拟，4)已知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中不一定成立的是()A.cabaB.b－ac0C.b2ca2cD.a－cac0【答案】C因为cba且ac0，所以c0，a0，所以caba，b－ac0，a－cac0，但b2与a2的关系不确定，故b2ca2c不一定成立．3．(2015·四川成都模拟，3)已知a，b为非零实数且ab，则下列不等式一定成立的是()A．a2b2B．ab2a2bC.1ab21a2bD.baab【答案】C若ab0，则a2b2，故A项错误；若0ab，则baab，故D项错误；若ab0，则ab2a2b，故B项错误．4．(2015·河北衡水二模，5)已知0ab1，则()A.1b1aB.12a12bC．(lga)2(lgb)2D.1lga1lgb【答案】D因为0ab1，所以1b－1a＝a－bab0.可得1b1a，12a12b，(lga)2(lgb)2，lgalgb0.由lgalgb0得1lga1lgb，因此只有D项正确．思路点拨：利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解．5．(2015·山东烟台模拟，6)已知－1a0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝11＋a，比较A，B，C的大小关系为()A．ABCB．BACC．ACBD．BCA【答案】B方法一(作差法)：由－1a0得1＋a0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a20得AB，C－A＝11＋a－(1＋a2)＝－a（a2＋a＋1）1＋a＝－aa＋122＋341＋a0，得CA，所以BAC.方法二(特殊值法)：令a＝－12，则A＝54，B＝34，C＝2，因此得BAC，故选B.6．(2015·江苏盐城一模，5)若－1a＋b3，2a－b4，则2a＋3b的取值范围为________．【解析】设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则x＋y＝2，x－y＝3，解得x＝52，y＝－12.又因为－5252(a＋b)152，－2－12(a－b)－1，所以－9252(a＋b)－12(a－b)132.即－922a＋3b132.【答案】－92，1327．(2015·河南郑州调研，14)若1a1b0，则下列不等式中：①1a＋b1ab；②|a|＋b0；③a－1ab－1b；④lna2lnb2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)【解析】由1a1b0，得ba0.①∵a＋b0，ab0，∴1a＋b0，1ab0，∴1a＋b1ab成立，即①正确；②∵ba0，∴－b－a0，则－b|a|，即|a|＋b0，∴②错误；③∵ba0，且1a1b0，∴a－1ab－1b，故③正确；④∵ba0，∴b2a2，∴lnb2lna2成立．∴④错误，故正确的是①③.【答案】①③1．(2011·江西，2，易)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－2x≤0，则A∩B＝()A．{x|－1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【答案】B化简两集合，得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝{x|0＜x≤1}．故选B.2．(2013·陕西，9，中)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]【答案】C矩形的一边长为xm，设另一边长为y，则由相似三角形得，12x（40－y）12×40×40＝x24b2，故其邻边长y＝(40－x)m，故矩形面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x，由S≥300得－x2＋40x≥300，解得10≤x≤30.3．(2013·天津，8，难)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x的不等式f(x＋a)f(x)的解集为A.若－12，12⊆A，则实数a的取值范围是()A.1－52，0B.1－32，0C.1－52，0∪0，1＋32D.－∞，1－52【答案】A由题意可得0∈A，即f(a)f(0)＝0，所以a(1＋a|a|)0，当a0时无解，所以a0，此时1－a20，所以－1a0.抛物线的对称轴x＝12a，x＝－12a之间的距离大于1，而[x＋a，x]的区间长度小于1，所以不等式f(x＋a)f(x)的解集是12a－a2，－12a－a2，所以－12，12⊆12a－a2，－12a－a2，所以12a－a2－12，－12a－a212，即a2－a－10，a2＋a＋10，解得1－52a1＋52，又－1a0，所以实数a的取值范围是1－52，0.4．(2011·上海，4，易)不等式x＋1x≤3的解为________．【解析】x＋1x≤3⇔x＋1x－3≤0⇔1－2xx≤0⇔x≠0，x（2x－1）≥0⇔x＜0或x≥12.【答案】(－∞，0)∪12，＋∞5．(2012·浙江，17，难)设a∈R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]·(x2－ax－1)≥0，则a＝________.【解析】(1)当a＝1时，不等式可化为：x0时均有x2－x－1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a≠1.(2)当a1时，∵x0，