高一数学培优宝典-高考知识练习：函数的图象、函数的应用（必修1）

1．(2015·课标Ⅱ，10，中)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()【答案】B当0≤x＜π4时，f(x)＝tanx＋4＋tan2x；当π4≤x≤3π4时，f(x)＝1＋1－1tanx2＋1＋1＋1tanx2；当3π4≤x＜π时，f(x)＝－tanx＋4＋tan2x，由此可知当x＝π4和x＝3π4时函数有最大值，排除C，D；由函数解析式知，函数的图象每段应是曲线，故应选B.2．(2015·北京，7，中)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1x≤1}D．{x|－1x≤2}【答案】C如图，线段BC的解析式为x＋y＝2，∴当x＝1时，f(x)＝log2(x＋1)．∴f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1x≤1}．3．(2015·北京，8，中)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D由题图可知，消耗1升汽油，乙车最多可行驶的里程大于5千米，故A错误；消耗1升汽油甲走最远，则反过来路程相同，甲最省油，故B错误；甲车此时行驶了80千米，消耗8升汽油，故C错误；80千米/小时以下丙“燃油效率”更高，更省油．4．(2015·安徽，9，难)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【答案】C由图可知，①当x＝0时，y＝bc2＞0，∴b＞0；②当y＝0时，即ax＋b＝0.又根据选项知a≠0，∴x＝－ba＞0，∴a＜0；③根据函数定义域可得c＜0.综上选C.1．(2011·陕西，3，易)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()【答案】B(排除法)由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数，排除A，C；由f(x＋2)＝f(x)知，f(x)的周期为2，排除D.故选B.2．(2012·课标全国，10，中)已知函数f(x)＝1ln（x＋1）－x，则y＝f(x)的图象大致为()【答案】B令g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1，∴当－1x0时，g′(x)0；当x0时，g′(x)0，∴g(x)max＝g(0)＝0.∴f(x)0，排除A，C.又由f(x)的定义域为{x|x≠0}，可排除D，故选B.3．(2013·安徽，8，中)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得f（x1）x1＝f（x2）x2＝…＝f（xn）xn，则n的取值范围是()A．{3，4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3}【答案】Bf（x1）x1＝f（x2）x2＝…＝f（xn）xn，即y＝f(x)的图象与y＝kx的交点的坐标满足上述等式．又交点至少要有两个，至多有四个，故n可取2，3，4.4．(2013·江西，10，难)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG︵的长为x(0xπ)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图象大致是()【答案】D当x逐渐增大时，y也逐渐增大，故y随x的增大而增大，故排除B.下面定量分析：当x＝π2时，弧长所对的圆心角为∠FOG＝π2.可求得l向上移动的距离为1－1×cosπ4＝1－22，故此时BE＝1－22sin60°＝23－63.又易知BC＝1sin60°＝233，故y＝BE＋BC＋CD＝2BE＋BC＝2×23－63＋233＝63－263.因为63－263233＋232＝433，所以函数f(x)的图象是下凹型．故选D.5．(2014·湖南，10，难)已知函数f(x)＝x2＋ex－12(x0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.－∞，1eB.()－∞，eC.－1e，eD.－e，1e【答案】B由题意知，设x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＝g(－x0)，即x20＋ex0－12＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，∴ex0－ln(－x0＋a)－12＝0.令y1＝ex－12，y2＝ln(－x＋a)，要使得函数图象的交点A在y轴左侧，如图，则lna12＝lne12，∴ae12.方法点拨：首先由存在关于y轴对称的点，建立f(x)与g(x)之间的联系，然后将函数的零点转化为两个函数图象的交点．6．(2012·山东，12，难)设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．当a0时，x1＋x20，y1＋y20B．当a0时，x1＋x20，y1＋y20C．当a0时，x1＋x20，y1＋y20D．当a0时，x1＋x20，y1＋y20【答案】B方法一：由题意知满足条件的两函数图象只有图(1)与图(2)两种情况，图(1)中，作B关于原点的对称点B′，据图可知：当a0时，x1＋x20，y1＋y20，故B正确．图(2)中，作A关于原点的对称点A′，据图可知：当a0时，x1＋x20，y1＋y20，C，D均错．方法二：1x＝ax2＋bx⇔1x2＝ax＋b，分别作出y＝1x2和y＝ax＋b的图象，如下：不妨设x10，x20，当a0时，x1＋x20，y1＋y2＝1x1＋1x2＝x1＋x2x1x20.当a0时，x1＋x20，y1＋y2＝1x1＋1x2＝x1＋x2x1x20.故选B.7．(2012·福建，10，难)函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有fx1＋x22≤12[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1，3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，3]上具有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有fx1＋x2＋x3＋x44≤14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是()A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】D令f(x)＝1，x∈[1，3），3，x＝3，如图，f(x)在x∈[1，3]上具有性质P，可在x＝3处不连续，①错；令f(x)＝－x，x∈[1，3]，经检验可知f(x)＝－x在x∈[1，3]上具有性质P.而f(x2)＝－x2，x∈[1，3]，令g(x)＝－x2，其图象如图所示．由图象可知，gx1＋x22为点S的纵坐标，12[g(x1)＋g(x2)]为点F的纵坐标(其中EF为梯形ABCD的中位线)，∴由图可知gx1＋x22＞12[g(x1)＋g(x2)]，∴②错．设x∈[1，3]，则4－x∈[1，3]，∴f(x)＋f(4－x)≥2fx＋4－x2＝2f(2)＝2.而f(x)＋f(4－x)≤1＋1＝2，f(x)≤1，f(4－x)≤1，∴f(x)＝f(4－x)＝1，故③正确．fx1＋x2＋x3＋x44＝fx1＋x22＋x3＋x422≤12fx1＋x22＋fx3＋x42≤1212[f（x1）＋f（x2）]＋12[f（x3）＋f（x4）]＝14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]，∴④正确．故真命题为③④.考向1函数图象的辨识1．图象的变换(1)平移变换①y＝f(x±a)(a0)的图象，可由y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(＋a)或向右(－a)平移a个单位得到；②y＝f(x)±b(b0)的图象，可由y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(＋b)或向下(－b)平移b个单位得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(3)伸缩变换①y＝kf(x)(k0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k1)或缩短(0k1)为原来的k倍而得到；②y＝f(kx)(k0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(0k1)或缩短(k1)为原来的1k而得到．(4)翻折变换①要得到y＝|f(x)|的图象，可先画出y＝f(x)的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到；②由于y＝f(|x|)是偶函数，要得到y＝f(|x|)的图象，可先画出y＝f(x)的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到．进行图象变换时，要合理选择变换的顺序，并进行适当的转化变形．例如，要得到y＝2－|x－1|的图象，由于y＝2－|x－1|＝12|x－1|，可将y＝12x的图象先通过对称翻折得到y＝12|x|的图象，再通过平移得到y＝12|x－1|的图象．2．利用函数的性质确定函数图象的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)和图象上的特殊点线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图象确定所给函数的图象．(1)(2013·四川，7)函数y＝x33x－1的图象大致是()(2)(2014·课标Ⅰ，6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为()【解析】(1)(排除法)由已知得，3x－1≠0⇒x≠0，排除A；又∵x0时，3x－10，x30，∴y＝x33x－10，故排除B；又y′＝x2[3x（3－xln3）－3]（3x－1）2，当3－xln30时，x3ln30，y′0，所以D不符合．(2)(排除法)由题图可知：当x＝π2时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A，D；当x∈0，π2时，OM＝cosx，设点M到直线OP的距离为d，则dOM＝sinx，即d＝OMsinx＝sinx·cosx，∴f(x)＝sinxcosx＝12sin2x≤12，排除B，故选C.【答案】(1)C(2)C【点拨】解答此类问题时注意函数的奇偶性、单调性、极值、特殊点处的函数值．辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；(2)利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．(2013·山东，8)函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()【答案】D方法一：令f(x)＝xcosx