高一数学培优宝典-高考知识练习：立体几何（必修2）

1．(2015·浙江，2，易)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8cm3B．12cm3C.323cm3D.403cm3【答案】C由题意得，该几何体由一个正方体与一个正四棱锥组合而成，所以体积V＝23＋13×22×2＝323.2．(2015·安徽，7，中)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋3B．2＋3C．1＋22D．22【答案】B将三视图还原为几何体，如图所示O­ABC，且OB＝OD2＋BD2＝2，∴△OAC与△ABC为直角三角形，△OAB与△OBC为等边三角形．∴S表＝2S△OAC＋2S△OAB＝2×12×2×2＋2×34×(2)2＝2＋3.3．(2015·山东，7，中)在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D．2π【答案】C如图，以AD所在的直线为轴旋转一周，形成的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以其体积为V＝π·12·2－13·π·12·1＝5π3.故选C.4．(2015·课标Ⅱ，6，中)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15【答案】D如图所示为正方体被一个平面截去后剩余部分的几何体．设正方体棱长为a，∴111AABDVV剩＝13×12a2·aa3－13×12a2·a＝15.5．(2015·课标Ⅱ，9，中)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π【答案】C设球的半径为r，则VO­ABC＝13×12×r2h≤16r3＝36，故r＝6.故S球＝4πr2＝144π.6．(2015·课标Ⅰ，6，中)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B设圆锥底面半径为r，∵14×2πr＝8，∴r＝16π，∴V＝14×13×π×162π2×5＝3209.设米堆共有x斛，则1.62x＝3209，解得x≈22(斛)．7．(2015·课标Ⅰ，11，中)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1B．2C．4D．8【答案】B由题意知，该几何体是由半个圆柱与半个球组合得到的．则表面积S＝2πr2＋2×12πr2＋4r2＋2πr2＝5πr2＋4r2＝20π＋16，∴r＝2.8．(2015·江苏，9，中)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【解析】设新的底面半径为r，根据题意得13π×52×4＋π×22×8＝13πr2×4＋8πr2，即28r2＝196，∴r＝7.【答案】71．(2014·福建，2，易)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱【答案】A因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，故选A.2．(2013·广东，5，易)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4B.143C.163D．6【答案】B由四棱台的三视图可知，该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2，所以V＝13×(1＋4＋2)×2＝143.故选B.思路点拨：解题的关键是由三视图判断几何体的结构特征并确定相应的数量关系．3．(2014·湖南，7，中)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1B．2C．3D．4【答案】B根据三视图得如图所示的三棱柱，即底面ABC是直角三角形的直棱柱．要想得到最大的球，只需球与三个侧面都相切．因为直角三角形中，62＋82＝102，所以直角三角形ABC的内切圆半径为r＝6＋8－102＝2，故得到的最大球的半径为2.4．(2014·安徽，7，中)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋3B．18＋3C．21D．18【答案】A由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角后剩下的部分，如图所示，则S＝S正方体－2S三棱锥侧＋2S三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋3.5．(2013·课标Ⅰ，6，中)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3【答案】A设球半径为R，如图所示，B为弦的中点，OA＝OC＝R，由垂径定理，知△OBA为直角三角形．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为43π×53＝5003π(cm3)，故选A.6．(2013·辽宁，10，中)已知三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310【答案】C方法一(补形法)：过点C作AB的平行线，过点B作AC的平行线，交点为D，同理过点C1作A1B1的平行线，过点B1作A1C1的平行线，交点为D1，连接DD1，则ABCD­A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r＝32＋42＋1222＝132.方法二：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.7．(2014·湖北，8，中)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.355113【答案】B∵V＝13πr2h＝π3L2π2h＝112πL2h，∴由V≈275L2h得：275L2h≈112πL2h，即π≈258.8．(2014·天津，10，易)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，底面圆半径为2，高为2，下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V＝13·π·22·2＋π·12·4＝8π3＋4π＝20π3.【答案】20π3考向1空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线．2．用斜二测画法画几何体直观图的注意点(1)用斜二测画法画几何体直观图时，要注意原图与直观图中的“三变”、“三不变”：①“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变（减半），图形改变.②“三不变”平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变.(2)对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系：S′＝24S，并能进行相关的计算．(1)(2014·湖北，5)在如图所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②(2)(2013·四川，3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()【思路导引】解题(1)的关键是先根据点的坐标画出几何体的直观图，再由直观图推测正视图和俯视图；解题(2)的方法是根据正视图和侧视图判断上面是台体、下面是柱体，再由俯视图可得答案．【解析】(1)如图，A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，B，C，D点在面yOz上的射影分别为B1，C1，D1，它们在一条线上，且C1为B1D1的中点．从前往后看时，看不到棱AC，所以正视图中AC1应为虚线；故正视图应为图④.点A，D，C在面xOy内的射影分别为O，B，C2，俯视图为△OC2B，故俯视图应为图②.综上选D.(2)由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，圆台的下底面和圆柱的底面恰好重合．【答案】(1)D(2)D1.由三视图还原直观图的方法(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．2．已知三视图中的某两个，求余下一个的三视图的方法先根据已知的三视图中的某两个，还原、推测直观图的可能形式，找余下一个三视图的可能形式．作为选择题，也可将选项依次代入，再看看给出的三视图是否符合．(1)(2014·江西，5)一个几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)(2014·北京，7)在空间直角坐标系O­xyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D()1，1，2，若S1，S2，S3分别是三棱锥D­ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1(1)【答案】B俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选B.(2)【答案】D如图，在空间直角坐标系中，S1＝12AB·BC＝2，S2＝12AB·DE＝2，S3＝12BC·DE＝2，∴S1S2＝S3，故选D.考向2空间几何体的表面积1．多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．2．旋转体的侧面积和表面积(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)．(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.(1)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54B．60C．66D．72(2)(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π4【思路导引】解题(1)的关键是将三视图准确地还原成直观图，并弄清直观图中相对的位置关系；解题(2)的关键是根据题意，借助辅助面，画出相应的图形，求出半径．【解析】(1)根据几何体的三