高中数学复习专题：椭圆

(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).(4)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、准线、离心率).(5)理解直线与圆锥曲线的位置关系；了解圆锥曲线的简单应用.(6)理解数形结合的思想.圆锥曲线是高中数学主干知识——平面解析几何的又一核心内容，考查题型广泛，形式多样，难易题均有涉及.小题主要以椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程和几何性质为主；大题主要考查直线与椭圆的位置关系，抛物线的几何性质及焦点弦问题，内容涉及交点个数问题，有关弦的中点问题及弦长问题，相交围成三角形的面积问题等.在解题过程中计算占了很大的比重，对运算求解能力有较高的要求，计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，合理利用曲线的定义和性质将计算简化，讲求运算的合理性，如“设而不求”，“整体代换”等.试题淡化对图形性质的技巧处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量，解三角形，函数等知识的交汇，关注对数形结合，函数与方程，化归与转化，特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略，以及待定系数法，换元法等的考查.预计2011年高考在本章的小题考查重点是椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程和几何性质，特别是椭圆的离心率问题，大题综合考查直线与椭圆的位置关系，抛物线的几何性质及焦点弦问题，以及与其他知识点的综合交汇.1.已知两定点A（-1,0）,B（1,0），点M满足则点M的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.线段D.直线因为AB=2，所以点M在线段AB上，故选C.易错点：平面上到两个定点F1,F2的距离之和为定值，且大于的动点轨迹才是椭圆.2,MAMBC12FF2.已知椭圆(a＞b＞0)的焦点分别为F1、F2，b=4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）A.10B.12C.16D.20因为b=4，，又b2=a2-c2，得a=5,c=3，由椭圆定义可知△ABF2的周长为4a=20，选D.22221xyab35D35cea3.椭圆x2+2y2=2的右焦点到直线y=3x的距离是（）A.B.C.1D.将椭圆方程化为所以其右焦点坐标为（1,0），它到直线y=x的距离为选B.易错点：研究椭圆的几何性质，须将椭圆方程化为标准方程.B123232212xy，333213d，4.已知椭圆G的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为,且椭圆G上一点到G的两个焦点之和为12，则椭圆G的方程为.e=，2a=12，a=6，b=3，则所求椭圆方程为32221369xy32221.369xy5.椭圆：的两个焦点F1,F2,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点恰在y轴上，则=.由已知椭圆方程得a=2，b=，c=3，F1（-3,0）,F2（3,0）.221123xy12PFPF733因为焦点F1和F2关于y轴对称，所以,则P（3，），所故填7.32232PF，2137324322PFaPF，127PFPF，1.椭圆的定义及其标准方程(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.12FF(2)椭圆的标准方程是(ab0)或(ab0).(3)椭圆的标准方程中a,b,c之间的关系是a2=b2+c2.(4)形如Ax2+By2=C的方程，只要A、BC为正数，且A≠B就是椭圆方程，可化为标准形式：22221xyab22221xyba、221.xyCCAB2.椭圆的简单几何性质(1)椭圆(ab0)上的点中，横坐标x的取值范围是[-a,a]，纵坐标y的取值范围是[-b,b]，=2c，若2a，则点P的轨迹不存在，若=2a，则点P的轨迹是线段F1F2.22221xyab12FF12PFPF12PFPF(2)椭圆的对称轴为x轴和y轴，椭圆的对称中心为原点，对称中心叫椭圆的中心.(3)椭圆(ab0)的四个顶点是(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)，它们是椭圆与其对称轴的交点.(4)离心率范围是(0，1).22221xyab,cea重点突破：椭圆的定义及其标准方程设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为2-2，求此椭圆的方程.设所求椭圆或(ab0)，根据题意列出关于a,b,c的方程组，从而求出a,b,c的值.例1222221xyab22221xyba设所求椭圆或(ab0)，b=ca-c=2-2a2=b2+c2(舍去).则所求椭圆求椭圆的方程，借助于数形结合，先定位分析焦点所在的位置，再用待定系数法，将已知条件代入求解.22221xyab22221xyba则，解得a=2b=2c=2，或22a=6-8b=4-6c=4-6222222211.8448xyxy或已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为5和3，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆方程.设所求椭圆或(ab0)，两个焦点分别为F1,F2.则由题意得：所以a=4.变式练习122221xyab22221xyba1228aPFPF，在方程中令x=±c，得在方程中令y=±c，得依题意知=3，所以b=2.则椭圆方程为或.22221xyab22221xyba2bya；2bxa；2ba32211216xy2211612xy重点突破：椭圆的几何性质已知P点为椭圆+y2=1上的点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题，常用正，余弦定理进行求解.例224x依题意得，在△F1PF2中，由余弦定理得解得则△F1PF2的面积为1224PFPFa，2221212232cos60PFPFPFPF（）21212122PFPFPFPFPF（）2cos60PF，124·.3PFPF211·sin6033.2PFPF圆锥曲线定义与三角形的有关性质相结合是解本题的关键，常用的解题技巧要熟记于心.已知P为椭圆+y2=1上的动点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=θ,求当θ取最大值时，点P的位置.设则m+n=4，变式练习224x12,PFmPFn，1223.FF在△F1PF2中，由余弦定理得因为m+n=4,m0,n0，所以mn≤当且仅当m=n时“=”取得，所以cosθ≥-.所以当θ取得最大值时，点P在短轴的两个顶点处.222121212cos2PFPFFFPFPF2212221.2mnmnFFmnmn（）24.2mn（）12重点突破：直线与椭圆的位置关系已知直线l：y=x+m与椭圆相交于P,Q两点.(Ⅰ)求实数m的取值范围.(Ⅱ)是否存在实数m，使得等于椭圆的短轴长；若存在求出m的值，若不存在，请说明理由.例322132xyPQ(Ⅰ)联立直线与椭圆的方程，由Δ＞0解得.(Ⅱ)假设存在，由弦长公式可解得m的值，检验m是否满足Δ＞0的条件.y=x+m整理得5x2+6mx+3m2-6=0.由已知得，Δ=36m2-20(3m2-6)0，解得-m.21PQk12xx，(Ⅰ)联立22132xy，55(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则由(Ⅰ)x1+x2=x1x2=所以知65m23-6.5m221212PQxxyy21212114xxxx226362455mm（），由得解得因为0m2=5所以存在实数m=±，使得PQ等于椭圆的短轴长.直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线与椭圆相交，相切，相离.第(Ⅱ)题求出m值要检验是否满足Δ＞0.22PQ，223660120425mm，30.6m56306在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长.当直线斜率不存在时，M不可能为弦的中点，所以可设直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程，整理得：(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0，显然1+4k2≠0，Δ=16(12k2+4k+3)0.变式练习3由于解得k=-.故所求弦所在直线方程为x+2y-4=0.x+2y-4=0x2+4y2=16所以y1=0,y2=2.所以弦长2122168414kkxxk，12由得y2-2y=0，12211140225.yyk如图所示，已知A,B,C是椭圆E：(ab0)上的三点，其中A点的坐标为（2，0），BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,例422221xyab32.BCAC(Ⅰ)求点C的坐标及椭圆E的方程；(Ⅱ)若椭圆E上存在两点P,Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量PQ与AB是否共线，并给出证明.(Ⅰ)利用Rt△AOC，可求出C点坐标.(Ⅱ)判断向量PQ与AB是否共线，可从PQ与AB的斜率入手.(Ⅰ)因为且BC经过原点，所以又A(2，0)，∠ACB=90°，所以C(,)，且a=2代入椭圆方程得：则椭圆E的方程为2BCAC，,OCAC3233112b解得b2=4.333221.124xy(Ⅱ)对于椭圆上的两点P、Q，若∠PCQ的平分线总垂直于x轴,则PC与CQ所在直线关于直线x=3对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，所以直线PC的方程为y-=k(x-),即y=k(x-)+.①直线CQ的方程为y=-k(x-)+.②将①代入得：(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3=0，③333333221124xy3因为C（,）在椭圆上，所以x=是方程③的一个根.所以所以同理可得：所以333229183313Pkkxk，229183313Pkkxk，（）229183.313Qkkxk（）231.3QPQPPQQPQPyykxxkkxxxx（）因为C（,），所以B（-,-），又A（2，0），所以所以kAB=kPQ，所以向量PQ与向量AB共线.平面向量作为数学解题工具，常与平面解析几何综合考查，在向量与解析几何的综合性问题中，写出向量的坐标是关键.过在椭圆上的点作直线时，切记此点的横坐标是直线与椭圆方程联立后一元二次方程的一个根.3333331333ABk，1.求椭圆的标准方程常用的方法是轨迹方程法和待定系数法，(1)由椭圆的几何性质直接求出参数a,b；(2)先设出椭圆的标准方程，根据已知条件列出方程，用待定系数法求出参数a,b.2.解决直线与圆锥曲线的位置问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决.设直线l与曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则3.椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形的相关问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理求解.212122111.ABkxxyyk1.（2009·浙江卷）已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.22221xyab2APPB，D32221312对于椭圆，因为则OA=2OF，所以a=2c，所以e=，选D.对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用.2APPB，122.（2009·福建卷）已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:（ab0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方