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合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式第2课时基本不等式的应用合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基学习目标核心素养1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题.(重点)2.会用基本不等式求解实际应用题.(难点)1.通过基本不等式求最值,提升数学运算素养.2.借助基本不等式在实际问题中的应用,培养数学建模素养.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基自主预习探新知合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基已知x、y都是正数,(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最值S24.(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最值2p.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.大小合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基1.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是()A.72B.4C.92D.5合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基C[∵a+b=2,∴a+b2=1.∴1a+4b=1a+4ba+b2=52+2ab+b2a≥52+22ab·b2a=92当且仅当2ab=b2a,即b=2a时,等号成立.故y=1a+4b的最小值为92.]合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基1.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是()A.72B.4C.92D.5C[∵a+b=2,∴a+b2=1.∴1a+4b=1a+4ba+b2=52+2ab+b2a≥52+22ab·b2a=92当且仅当2ab=b2a,即b=2a时,等号成立.故y=1a+4b的最小值为92.]合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基2.若x0,则x+2x的最小值是________.22[x+2x≥2x·2x=22,当且仅当x=2时,等号成立.]合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基3.设x,y∈N*满足x+y=20,则xy的最大值为________.100[∵x,y∈N*,∴20=x+y≥2xy,∴xy≤100.]合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基合作探究提素养合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基【例1】(1)已知x54,求y=4x-2+14x-5的最大值;(2)已知0x12,求y=12x(1-2x)的最大值.[思路点拨](1)看到求y=4x-2+14x-5的最值,想到如何才能出现乘积定值;(2)要求y=12x(1-2x)的最值,需要出现和为定值.利用基本不等式求最值合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基[解](1)∵x54,∴5-4x0,∴y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基(2)∵0x12,∴1-2x0,∴y=14×2x(1-2x)≤14×2x+1-2x22=14×14=116.∴当且仅当2x=1-2x0x12,即x=14时,ymax=116.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件,即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话:若不正,用其相反数,改变不等号方向;若不定应凑出定和或定积;若不等,一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基1.(1)已知x0,求函数y=x2+5x+4x的最小值;(2)已知0x13,求函数y=x(1-3x)的最大值.[解](1)∵y=x2+5x+4x=x+4x+5≥24+5=9,当且仅当x=4x即x=2时等号成立.故y=x2+5x+4x(x0)的最小值为9.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基(2)法一:∵0x13,∴1-3x0.∴y=x(1-3x)=13·3x(1-3x)≤133x+1-3x22=112.当且仅当3x=1-3x,即x=16时,等号成立.∴当x=16时,函数取得最大值112.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基法二:∵0x13,∴13-x0.∴y=x(1-3x)=3·x13-x≤3·x+13-x22=112,当且仅当x=13-x,即x=16时,等号成立.∴当x=16时,函数取得最大值112.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基【例2】已知x>0,y>0,且满足8x+1y=1.求x+2y的最小值.[解]∵x>0,y>0,8x+1y=1,∴x+2y=8x+1y(x+2y)=10+xy+16yx≥10+2xy·16yx=18,利用基本不等式求条件最值合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基当且仅当8x+1y=1,xy=16yx,即x=12,y=3时,等号成立,故当x=12,y=3时,(x+2y)min=18.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基若把“8x+1y=1”改为“x+2y=1”,其他条件不变,求8x+1y的最小值.[解]∵x,y∈R+,∴8x+1y=(x+2y)8x+1y=8+16yx+xy+2=10+16yx+xy≥10+216=18.当且仅当16yx=xy时取等号,合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基结合x+2y=1,得x=23,y=16,∴当x=23,y=16时,8x+1y取到最小值18.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基1.本题给出的方法,用到了基本不等式,并且对式子进行了变形,配凑出满足基本不等式的条件,这是经常使用的方法,要学会观察、学会变形.2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见形式有f(x)=ax+bx型和f(x)=ax(b-ax)型.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基2.已知a>0,b>0,a+2b=1,求1a+1b的最小值.[解]法一:1a+1b=1a+1b·1=1a+1b·(a+2b)=1+2ba+ab+2=3+2ba+ab≥3+22ba·ab=3+22,合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基当且仅当2ba=ab,a+2b=1,即a=2-1,b=1-22时等号成立.∴1a+1b的最小值为3+22.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基法二:1a+1b=a+2ba+a+2bb=1+2ba+ab+2=3+2ba+ab≥3+22,当且仅当2ba=ab,a+2b=1,即a=2-1,b=1-22时,等号成立,∴1a+1b的最小值为3+22.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基【例3】如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有36m长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?利用基本不等式解决实际问题合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基[解]设每间虎笼长xm,宽ym,则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼面积为S,则S=xy.法一:由于2x+3y≥22x·3y=26xy,所以26xy≤18,得xy≤272,即Smax=272,当且仅当2x=3y时,等号成立.由2x+3y=18,2x=3y,解得x=4.5,y=3.故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使每间虎笼面积最大.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基法二:由2x+3y=18,得x=9-32y.∵x0,∴0y6,S=xy=y9-32y=32y(6-y).∵0y6,∴6-y0.∴S≤326-y+y22=272.当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使每间虎笼面积最大.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基1.在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基2.对于函数y=x+kx(k0),可以证明0<x≤k及-k≤x<0上均为减函数,在x≥k及x≤-k上都是增函数.求此函数的最值时,若所给的范围含±k时,可用基本不等式,不包含±k时,可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习).合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基3.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基[解]设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为2160×1042000x=10800x.∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+10800x=560+48x+225x.当x+225x取最小值时,y有最小值.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基∵x0,∴x+225x≥2x·225x=30.当且仅当x=225x,即x=15时,上式等号成立.∴当x=15时,y有最小值2000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基1.利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正二定三相等”,三个条件缺一不可,解题时,有时为了达到使用基本不等式的三个条件,需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个适合应用基本不等式的情境.2.不等式的应用题大都与函数相关联,在求最值时,基本不等式是经常使用的工具,但若对自变量有限制,一定要注意等号能否取到.合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基当堂达标固双基合作探究·提素养栏目导航栏目导航自主预习·探新知课时分层作业当堂达标·固双基1.思
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