部编人教版高中数学A版必修第一册教材：基本不等式的应用课后作业

1课时分层作业(十一)基本不等式的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是()A．2B．aC.2aa－1D．3D[a＞1，∴a－1＞0，∴a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2a－1·1a－1＋1＝3.]2．已知f(x)＝x＋1x－2(x0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4C[∵x0，∴f(x)＝－－x＋1－x－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．]3．设x＞0，则y＝3－3x－1x的最大值是()A．3B．－32C．3－23D．－1C[∵x＞0，∴y＝3－3x＋1x≤3－23x·1x＝3－23.当且仅当3x＝1x，且x＞0，即x＝33时，等号成立．]4．若x＞0，y＞0，且1x＋4y＝1，则x＋y的最小值是()A．3B．6C．9D．12C[x＋y＝(x＋y)·1x＋4y＝1＋yx＋4xy＋4＝5＋yx＋4xy≥5＋2yx·4xy＝5＋4＝9.2当且仅当1x＋4y＝1，yx＝4xy，即x＝3y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.]5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36B[(1＋x)(1＋y)≤1＋x＋1＋y22＝2＋x＋y22＝2＋822＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25，故选B.]二、填空题6．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．[答案]17．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.56[设阴影部分的高为xdm，则宽为72xdm，四周空白部分的面积是ydm2.由题意，得y＝(x＋4)72x＋2－72＝8＋2x＋144x≥8＋2×2x·144x＝56(dm2)．当且仅当x＝144x，即x＝12dm时等号成立．]8．若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．a＋b≥6[∵a＋b＋3＝ab≤a＋b22，∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]3三、解答题9．当x32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值．[解]y＝12(2x－3)＋82x－3＋32＝－3－2x2＋83－2x＋32，∵当x32时，3－2x0，∴3－2x2＋83－2x≥23－2x2·83－2x＝4，当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－12时取等号．于是y≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋784x＋3－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解]设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得y＝2x－6x＋784x＋3－118＝118－4x＋784x＋3＝118－[4(x＋3)＋784x＋3－12]＝130－[4(x＋3)＋784x＋3]≤130－24x＋3·784x＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x＋3)＝784x＋3，即x＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．[等级过关练]1．若－4x1，则y＝x2－2x＋22x－2()4A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值－1D．有最大值－1D[y＝x2－2x＋22x－2＝12x－1＋1x－1，又∵－4x1，∴x－10.∴－(x－1)0.故y＝－12－x－1＋1－x－1≤－1.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．]2．已知x0，y0，且2x＋1y＝1，若x＋2ym2恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≤－22或m≥22B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4D．－22＜m＜22D[∵x0，y0且2x＋1y＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2ym2恒成立，只需(x＋2y)minm2恒成立，即8m2，解得－22m22.]3．若x0，y0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．116[1＝x＋4y≥24xy＝4xy，∴xy≤116，当且仅当x＝4y＝12时等号成立．]4．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．233[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤x＋y22＋1.∴34(x＋y)2≤1.5∴x＋y≤233，当且仅当x＝y＝33时等号成立．]5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝1□＋9□，试求这两个数．[解]设1a＋9b＝1，a，b∈N*，∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)1a＋9b＝1＋9＋ba＋9ab≥10＋2ba·9ab＝10＋2×3＝16，当且仅当ba＝9ab，即b＝3a时等号成立．又1a＋9b＝1，∴1a＋93a＝1，∴a＝4，b＝12.这两个数分别是4,12.